produit de lois normales

steak0 · August 2009

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice, je vous écris l'énoncé :
Soient X, Y et Z trois v.a.r indépendantes de même loi N(0, 1)
Montrer que la fonction caractéristique du couple (XY, XZ) est donné par :
f(s, t)=1/(1+s²+t²)^1/2

alors voilà comment j'ai procédé :
f(s, t)=E(exp(i(s*XY+t*XZ)))
donc en factorisant, on obtient
f(s, t)=E(exp(i(X*(sY+tZ)))

En posant U=sY+tZ on a U qui suit une loi normale U(0, s²+t²)
il reste donc à calculer E(exp(i*X*U)) mais après j'arrive pas à m'en sortir avec l'intégrale.

Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.
Merci beaucoup et bonne soirée !

TheBridge · August 2009

Je pense qu'une meilleure idée serait de conditionner par X dans un premier temps
ainsi tu auras à calculer :
$E[E[e^{ix(sY+tZ)}|X=x]]$

steak · August 2009

ok d'accord, donc E(exp(i(sXY+tXZ)) | X) revient à calculer la fonction caractéristique d'une gaussienne d'espérance 0 et de variance s² + t² appliquée au point x
ce qui donne donc exp(-X²(s²+t²)/2)

maintenant calculer la fonction caractéristique du couple (XY, XZ) revient à calculer E(E(exp(i(sXY+tXZ)) | X)) donc à calculer E(exp(-X²(s²+t²)/2)) avec -X²(s²+t²)/2 qui suit une loi gamma (1/2, (s² + t²))

mais voilà après je n'arrive pas à calculer cette espérance à cause de l'exponentiel, est ce que j'ai fait une erreur quelque part ?

egoroff · August 2009

Salut,

OK pour le conditionnement. Mais ensuite, pourquoi passer par la loi de $-X^2(s^2+t^2)/2$ ? Le théorème de transfert te dit directement que ton espérance vaut $\int_{\R} e^{-x^2(s^2+t^2)/2} f_X(x) \, dx$, et ça c'est quand même relativement facile à calculer (et on retombe bien sur le résultat annoncé).

steak · August 2009

ahh oui ok c'est la densité d'une N(0, 1/(1+s²+t²))

merci beaucoup !

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