Espérance/fonction de répartition

re bonsoir,

pour clore une fois pour toute, j'ai à peu près finis l'exo, mais il me manque quelque petot détail:

si $r > 0$ , $Y_i$ et $t \ge T_i$

on pose $Y_i^{(r)} = e^{r(t-T_i)} Y_i$ On considère : $S_t = \sum_{k=1}^{N_t} Y_i^{(r)}$ si $N_t \ge 1$, $S_t = 0$ si $N_t = 0$, où $N$ est un processus de poisson d'intensité $\lambda$ et la suite ( $Y_i$, $i \ge 1$ ) est indépendante de $N$. la loi de $Y_1$ notée $F_{Y}$ est la loi de Paréto $Par(y_0, \alpha)$ . Calculer $E(S_t)$

pour cette question, j'ai calculé la fonction génératrice des moments pour avoir le moment d'ordre 1, donc pour cette question à priori c'est bon:

en tout cas je trouve :


$E(S_t) = \frac {\lambda t}{r} E(Y) (1 - e^{-r} )$

On pose maintenant $\tilde S_t^{a} = \sum_{k=1}^{N_t} (Y_i^{(r)} - a))^+$ avec par convention $\tilde S_t^{a} = 0$ si $N_t = 0$ et où $a > 0$ . on note $N_t^a$ (nombre de sinistre de coût $Y^{(r)}$ supérieur à $a$, survenus pendant l'intervalle $[0,t] t> 0$.
Déterminer la loi de $N_t^a$ puis celle de $\tilde S_t^{a}$

pourquoi on demande la loi de $N_t^a$ ? c'est pas toujours une loi de poisson de même paramètre ?
pour connaître la loi de $\tilde S_t^{a}$ on calcule la fonction génératrice des moments? (je l'ai fait mais je ne trouve pas une loi particulière )


Si $S_t^{a} = \sum_{k=1}^{N_t} (Y_i - a))^+$ avec $S_t^{a} = 0$ si $N_t = 0$, Calculer $E(S_t^{a})$ pour $F_Y = Par(y_0, \alpha)$ puis comparer avec $E(\tilde S_t^{a})$

là je pense que c'est bon je conditionne par rapport à N_t et je fais le calcul en séparant le cas ou $Y_i > a$ ou $< a$

voilà et ce sera fait pour un des exos m'ont fait le plus souffert...