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Espérance/fonction de répartition

Envoyé par Sandrine007 
Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
Bonjour,

Soit une variable $Z$ définie pour $r > 0$ par $Z = e^{rU}Y$ où $U$ et $Y$ v.a indépendantes entre elles, $U$ est une variable uniformément répartie sur $\left[ 0,1 \right]$ et $Y$ une variable aléatoire de loi $F_Y = Par(y_0, \alpha )$ .
Je rappelle que pour une telle loi, si $\alpha > 0$ $\overline {F}_Y (y) = \left( \frac{y_0}{u} \right)^{\alpha}$ si $y \ge y_0 > 0$ et $\overline {F}_Y (y) = 1$ si $0 < y < y_0$

J'aimerais calculer $E(Y)$ puis la fonction de répartition $\overline {F}_Z (z) = P(Z \ge z )$ et l'espérance $E(Z)$.

Ce que j'ai fait :
$E(Y) = \int_{0}^{\infty} P(Y > u)\, \mathrm du = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{y_0}{u} \right)^{\alpha}\, \mathrm du = \frac{y_0 \alpha} {\alpha -1}$

pourriez-vous infirmer ou confirmer s'il vous plait ?
et pour les deux autres, je ne sais pas faire.
Merci de votre aide.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
regarde par ici (et regarde dans les postes ou on parle de la methode de la "variable muette")



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par alekk.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
Merci alekk,

J'ai regardé mais pas trouvé la méthode pour le calcul de la fonction de répartition
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
si tu sais faire le lien entre densite de probabilite et fonction de repartition (comment on obtient l'une a partir de l'autre), tu devrais pouvoir appliquer la methode non ? Qu'est ce qui te bloque ?
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
oui je sais faire le lien,

ce qui me bloque dans la question:
c'est quand je prend une fonction test et l'applique à Z c'est le changement de variable que je vois pas ...
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
Si tu cherches "méthode fonction muette" ou un truc comme ça sur le forum tu devrais trouver des dizaines de réponses...
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
C'est ce qui est proposé dans le lien d'alekk ,

mais je vois pas comment faire dans mon exemple
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
OK j'avais loupé le lien dans le message d'alekk. Bah, tu prends comme fonction muette $h(z)=1_{]a,+\infty[}$, comme $\mathbb{E}(h(Z))=\mathbb{P}(Z>a)$.

PS : tu trouves quoi pour $\mathbb{E}(Y)$ lorsque $\alpha=1/2$ ?
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
Merci Egoroff pour ton aide,


$E(Y) = - y_0$

pourquoi cette question?
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
Et bien, pour une v.a. qui est à valeurs dans $[y_0,+\infty[$, donc positive, je trouve que ça fait un peu désordre.. pas toi ? ;)

Pour la méthode de la fonction muette tu peux conditionner par $U$, i.e. écrire un truc du style :
\begin{align*}
\mathbb{E}(h(Z)) &= \mathbb{E}(h(e^{rU}Y)) \\
&= \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(h(e^{rU}Y) | U) \right) \\
&= \mathbb{E} \left( \mathbb{P}(Y>ae^{-rU}|U) \right) \\
&= \mathbb{E} ( \overline{F}_Y(ae^{-rU}) )
\end{align*}
et il te reste une intégrale pas méchante à calculer puisque tu connais la fonction $\overline{F}_Y$ et la densité de $U$.

Si tu n'as pas le conditionnement dans ta boîte à outils, écris l'espérance comme une intégrale contre la densité du couple $(U,Y)$ et appliques le théorème de Fubini en calculant d'abord l'intégrale par rapport à $y$ à $u$ fixé.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
J'ai refait le calcul de la première question, j'ai oublié de préciser que mon résultat est vrai dès que $\alpha > 1$

Pour le reste elle est sympa cette méthode finalement, mais excuse ma question stupide, comment on en déduit la fonction de répartition de Z ? En essayant de se ramener à une loi connue ?
J'ai un trou concernant la loi uniforme, sa densité c'est bien la caractéristique entre (0,t) divisée par t ? Si c'est le cas, aucune loi connue ne sort de ces calculs, peut-être devrais-je procéder autrement ?

Merci camarade !
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
personne n'a dit que c'etait une loi connue. Les proba seraient bien ennuyantes si on avait toujours affaire a des loi connues ...
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
Oui j'avoue,

mais confirmez-vous bien le reste ? (surtout pour la condition sur alpha ?
comment déduira t on la fonction de répartition?

pour l'espérance de Z, il suffirait d'intégrer la fonction de répartition (qu'on aura trouver)
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
OK pour $\alpha>1$, et dans le cas contraire que vaut l'espérance ? Une fois qu'on a $\mathbb{P}(Z>a)$ c'est très facile de retrouver la fonction de répartition de $Z$. Pour l'espérance, qui ne t'est pas demandée ici me semble-t-il, il y a un peu plus simple puisque $Z$ est le produit de deux v.a. indépendantes.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
oui, je vois donc après une petite recherche sur internet ...

voici ce que je trouve
$\overline {F}_Z (z) = \frac{1}{t}\int_{0}^1 \left( \frac{y_0}{ae^{-rx}} \right)^{\alpha}\, \mathrm dx +1$ après faut juste calculer l'intégrale ?


pour finir avec cet exo:
Pour $E(Z) = E(e^{rU})E(Y)$ ay, et je tombe encore sur la loi uniforme, je l'ai jamais rencontré cette loi en exo c'est pourquoi j'ai la chaire de poule,
est ce ce là? $\frac{1}{t}\int_{0}^1 \left( e^{r \alpha x} \right)\, \mathrm dx$ qu'on sait calculer aussi

voilà, reste plus que ces deux questions et ce sera bon pour beaucoup de chose !
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
Je commence par la fin : d'où sort le $\alpha$ dans ton intégrale ? et le $t$ ? Un peu de rigueur ! De manière générale il y a un résultat très utile qu'on appelle le théorème de transfert et qui dit que si $X$ est une variable aléatoire de densité $f$, à valeurs dans $E$ (par exemple $\R$ ou $\R^n$ ou $\N$...), et $h$ une fonction mesurable positive ou bornée sur $E$, alors $\mathbb{E}(h(X))=\int h(x) f(x) \, dx$ ; ça ramène le calcul d'espérance à un calcul d'intégrale. Dans le cas où $X=U$ est uniforme sur un intervalle $[a,b]$, on sait que $f(u)=(b-a)^{-1} 1_{[a,b]}(u)$, donc $\mathbb{E}(h(U))$ est la moyenne de $h$ sur l'intervalle $[a,b]$. Conclusion : il ne faut pas avoir peur de la loi uniforme !

Pour ton calcul il y a de l'idée mais attention c'est $\overline{F}_Z(a)$ qu'on calcule (et pas $\overline{F}_Z(z)$) et tu sembles croire que la fonction $\overline{F}_Y(y)$ est égale à $(y_0/y)^{\alpha}$ pour tout $y$.. il faut faire un peu plus attention (ou pas, mais alors il faut expliquer pourquoi).
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
je commence aussi par la fin :

$\overline {F}_Y (y) = \left( \frac{y_0}{u} \right)^{\alpha}$ si $y \ge y_0 > 0$ et $\overline {F}_Y (y) = 1$ si $0 < y < y_0$ c'est vrai j'ai oublié et là j'ai refais le calcul c'est bon au fait,

et sinon comment passer de $\overline {F}_Z (a)$ à $\overline {F}_Z (z)$ ?

pour le début le t apparaît parce qu'hier je pensais que c'était uniforme sur (0,t) désolée ..
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
Je ne comprends pas la question ? Si $f(x) =1+x^2$, que vaut $f(a)$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
oups faut que je me prenne des vacances, certainement pas maintenant :)


merci dimitri :)
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
avatar
Je reprends cette histoire d'espérance : on tombe après déconditionnement sur $\overline{F}_Z(z)=\mathbb{E}(\overline{F}_Y(ze^{-rU}))$ ; étant donné que $\overline{F}_Y$ est définie par morceaux (elle n'a pas la même expression pour $y \leq y_0$ ou $y > y_0$) il va falloir séparer des cas selon la valeur de $z$.

1) Si $z \leq y_0$, alors $ze^{-rU} \leq y_0$ p.s. donc notre espérance est l'espérance de $1$, et donc $\overline{F}_Z(z)=1$. On le savait déjà, parce que $U \geq 0$ p.s. entraîne $Z=Ye^{rU} \geq Y \geq y_0$ p.s. mais bon c'est toujours bien le vérifier.

2) Si $z \geq y_0e^r$, alors $ze^{-rU} \geq y_0$ p.s. et donc on peut remplacer dans l'espérance $\overline{F}_Y(ze^{-rU})$ par $(y_0/ze^{-rU})^{\alpha}$ ; une petite intégration plus tard en on obtient $\overline{F}_Z(z)=\left( \frac{y_0}{z} \right)^{\alpha} \frac{e^{\alpha r}-1}{\alpha r}$.

3) Reste le cas ch... $y_0 < z < y_0e^r$ ; on peut toujours écrire notre espérance $\int_0^1 \overline{F}_Y(ze^{-ru})\, du$ par le théorème de transfert, mais il faut découper l'intégrale en deux et remplacer $\overline{F}_Y$ par son expression sur chaque intervalle.. La valeur de rupture est $u^*=\frac{1}{r} \ln \frac{z}{y_0}$, et sauf erreur on obtient finalement $\overline{F}_Z(z)=\left( \frac{y_0}{z} \right)^{\alpha} \frac{e^{\alpha \ln(z/y_0)}-1}{\alpha r} + \left( 1 - \frac{1}{r} \ln \frac{z}{y_0} \right)$, je te laisse le vérifier. Ca serait bien aussi de vérifier que le résultat est décroissant et se recolle bien en $z=y_0$ et $z=y_0e^r$, mais j'ai un poil la flemme là tout de suite.
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
j'ai vérifié le résultat, quel élégance !

je suis évidemment envoûtée !

merci beaucoup egoroff pour ces précisions,
Re: Espérance/fonction de répartition
il y a dix années
re bonsoir,

pour clore une fois pour toute, j'ai à peu près finis l'exo, mais il me manque quelque petot détail:

si $r > 0$ , $Y_i$ et $t \ge T_i$

on pose $Y_i^{(r)} = e^{r(t-T_i)} Y_i$ On considère : $S_t = \sum_{k=1}^{N_t} Y_i^{(r)}$ si $N_t \ge 1$, $S_t = 0$ si $N_t = 0$, où $N$ est un processus de poisson d'intensité $\lambda$ et la suite ( $Y_i$, $i \ge 1$ ) est indépendante de $N$. la loi de $Y_1$ notée $F_{Y}$ est la loi de Paréto $Par(y_0, \alpha)$ . Calculer $E(S_t)$

pour cette question, j'ai calculé la fonction génératrice des moments pour avoir le moment d'ordre 1, donc pour cette question à priori c'est bon:

en tout cas je trouve :


$E(S_t) = \frac {\lambda t}{r} E(Y) (1 - e^{-r} )$

On pose maintenant $\tilde S_t^{a} = \sum_{k=1}^{N_t} (Y_i^{(r)} - a))^+$ avec par convention $\tilde S_t^{a} = 0$ si $N_t = 0$ et où $a > 0$ . on note $N_t^a$ (nombre de sinistre de coût $Y^{(r)}$ supérieur à $a$, survenus pendant l'intervalle $[0,t] t> 0$.
Déterminer la loi de $N_t^a$ puis celle de $\tilde S_t^{a}$

pourquoi on demande la loi de $N_t^a$ ? c'est pas toujours une loi de poisson de même paramètre ?
pour connaître la loi de $\tilde S_t^{a}$ on calcule la fonction génératrice des moments? (je l'ai fait mais je ne trouve pas une loi particulière )


Si $S_t^{a} = \sum_{k=1}^{N_t} (Y_i - a))^+$ avec $S_t^{a} = 0$ si $N_t = 0$, Calculer $E(S_t^{a})$ pour $F_Y = Par(y_0, \alpha)$ puis comparer avec $E(\tilde S_t^{a})$

là je pense que c'est bon je conditionne par rapport à N_t et je fais le calcul en séparant le cas ou $Y_i > a$ ou $< a$

voilà et ce sera fait pour un des exos m'ont fait le plus souffert... :)
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