probabilité conditionnelle

Sandrine007 · August 2009

Bonjour,
voici un autre problème compliqué pour moi,
On considère :
$X(t) = x + ct - S_t$ , $t>0$ $x$ donné, c constante
où $S_t = \sum_{k=1}^{N_t} Y_t$ , $S_t = 0$ si $N_t = 0$
$N^{\Theta} (t) = N(\Theta t )$ $t \le 0$ avec $N$ processus de poisson standard de paramètre $\alpha > 0$ et $\Theta$ une variable aléatoire strictement positive, indépendant de $N$, On suppose que la loi de $Y_1$ est la la loi exponentielle de paramètre $\alpha > 0$

Déterminer $P ( \exists t > 0, X(t) < 0 / \Theta )$

merci de votre aide .

egoroff · August 2009

Salut,

Le $/$ dans la proba, c'est un $|$ ? Conditionner par rapport à $\Theta$, c'est, puisque tout est indépendant de $\Theta$ (même si tu ne l'as pas dit pour les $Y_k$), faire comme si $\Theta=\theta$ était une constante ; dans ce cas $N^{\Theta}$ est un processus de Poisson standard d'intensité $\alpha\theta$. Est-ce que tu sais répondre à la question dans ce cas ?

Sandrine007 · August 2009

Salut,

oui je pense savoir comment on fait (théorème de renouvellement n'est ce pas ? )

ceci dit, j'ai 2 questions,
pourquoi tu dis que l'intensité de ce processus de Poisson est $\alpha \Theta$ et que $Y_k$ est indépendant de $\Theta$ malgré que ce n'est précisé nul part ?

En fait le but de ce petit exo est de calculer $P( \exists t > 0 ; X(t) < 0 )$ d'où le conditionnement d'abord par rapport à $\Theta$ d'abord (d'après l'énoncé)

egoroff · August 2009

Oui, c'est la démarche naturelle de conditionner par $\Theta$ puisqu'on élimine une source d'aléa et on se ramène à une situation connue. Puisque rien n'est précisé, tu voudrais supposer quelle relation de dépendance entre les $Y_i$, $N$ et $\Theta$ ? Pour ton autre question, j'espère que tu vois pourquoi si $(N_t)$ est un processus de Poisson d'intensité $\alpha$ alors $(N_{ct})$ est un processus de Poisson d'intensité $c\alpha$...

Sandrine007 · August 2009

Ah zut oui c'est vrai ! merci

pour revenir donc à la question de départ, c'est bien le théorème de renouvellement qui intervient dans ce exo, n'est ce pas ?

Sandrine007 · August 2009

Comme promis

je le déterre celui là,
voici le résultat :

$\phi (x) = \frac{\theta}{c}e^{- \frac{\alpha \theta}{\theta + c}x}$ donc je rappelle que c'est la proba $X_t < 0$ sachant $\theta$

maintenant on me demande la proba tout court de $X_t$ je sens que c'est juste une petite conclusion parce que là on n'a pas la loi de $\theta$

dernière question sur ce fil, sous quelle condition cette probabilité décroît exponentiellement vite lorsque x tend vers l'infini ?

egoroff · August 2009

Salut,

C'est bizarre, puisque $\theta$ n'ntervient dans ton calcul de proba conditionnelle que via $\alpha \theta$, on ne s'attend pas à voir apparaître $\theta$ sans $\alpha$... Enfin bref. Sous réserve que ton résultat soit juste, tu pourrais le noter plutot $\phi(x,\theta)$, et alors la probabilité inconditionnelle est égale à $\mathbb{E}(\phi(x,\Theta))=\int_0^{\infty} \phi(x,\theta) d\mathbb{P}_{\Theta}(\theta)$ où $\mathbb{P}_{\Theta}$ est la loi de $\Theta$. Pour la dernière question, j'ai l'impression que c'est toujours vrai mais bon.. à la limite j'aurais bien dit $\mathbb{P}(\Theta=0)=0$, mais ici l'énoncé suppose déjà $\Theta>0$ p.s.