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loi normale, matrice de covariance ...

Envoyé par djourix 
djourix
loi normale, matrice de covariance ...
il y a dix années
Titre initial : loi normale, matrice de covariance et diagonalisation

Bonjour

Je bloque sur un exercice, voici la consigne :

Soient X, Y, Z trois v.a réelles indépendantes, de même loi N(0,1)
soit W=(X-Z; Y-2*Z; Z+X-Y)
Déterminer la matrice de covariance K de W

Bon ça nous donne :
     2    -2     0
    -2     5    -3
     0    -3     3
en déduire les valeurs propres de K : p1=0, p2=5-7^1/2, p3=5+7^1/2

Maintenant, on nous dit : démontrer qu'on peut trouver deux v.a réelles indépendantes A et B, de même loi N(0, 1) telles que :
||W||² = (X-Z)² + (Y-2*X)² + (Z+X-Y)² = (5-7^1/2)*A² + (5+7^1/2)*B²

Je ne comprends pas comment faire, voici comment j'ai commencé :
Comme K est symétrique réelle, il existe une matrice S orthogonale telle que :
S*K*S^-1 soit diagonale dont la diagonale soit égale aux valeurs propres.
Maintenant si on pose Z=S*W on a Z gaussien et les composantes de Z sont indépendantes (car K est diagonale et la matrice de covariance de Z est égale à K)
de plus comme S est orthogonale on a ||Z||² = ||W||²
Mais après je ne vois pas comment prouver l'existence des v.a.r A et B et encore moins montrer l'égalité avec la norme de W



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par AD.
Re: loi normale, matrice de covariance et diagonalisation
il y a dix années
avatar
Salut,

Tu as fait le plus dur ! Tu as déjà consruit un vecteur gaussien $Z$ dont la norme est la même que celle de $W$ et dont les composantes sont indépendantes. Quelles sont les variances de chacune des composantes de $Z$ ?
djourix
Re: loi normale, matrice de covariance ...
il y a dix années
salut,

alors les variances de chacune des composantes de Z sont bien sûres égales aux valeurs propres de K, mais je ne vois toujours pas comment faire intervenir la matrice diagonale dans l'égalité des normes
Re: loi normale, matrice de covariance ...
il y a dix années
avatar
Bah, $||Z||^2 = Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$, et chaque $Z_i$ peut s'écrire $\sigma_i U_i$, avec $U_i$ de variance $1$.
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