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processus gaussien, intégrale stochastique

Envoyé par solal 
processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
Bonjour,

J'aimerais savoir si à partir d'un mouvement brownien standard bidimensionnel $(W^1,W^2)$ le processus suivant :
$(\int_0^tW^1_s ds,\int_0^tW^2_s ds)$ est aussi gaussien ?
Si oui cela reste-t-il vrai pour le processus suivant $(\int_0^t f(s) W^1_s ds,\int_0^t g(s) W^2_s ds)$ où $f$ et $g$ sont déterministes. Ou mieux $(\int_0^t f(s) \int_0^s h(u) W^1_u du ds,\int_0^t g(s) \int_0^s j(u) W^2_u du ds)$

Merci.
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
avatar
Salut,

Où sont les intégrales stochastiques ? Allons plus loin : j'affirme que si $(X_1,...,X_n)$ est un processus gaussien à trajectoires mesurables et si $f_1,...,f_n$ sont des fonctions mesurables déterministes telles que les intégrales ont un sens, alors le processus $(\int_0^{\cdot} f_1(s) X_1(s) \, ds, ...,\int_0^{\cdot} f_n(s) X_n(s) \, ds)$ est encore gaussien, et mieux : le processus $2n$-dimensionnel $(X_1,...,X_n,\int_0^{\cdot} f_1(s) X_1(s) \, ds,...,\int_0^{\cdot} f_n(s) X_n(s) \, ds)$ est gaussien. Avec ça tu peux itérer autant que tu veux, et considérer également des intégrales stochastiques (de Wiener) en faisant un petit coup d'IPP. Tu peux même remplacer les $f_i(s) \, ds$ par des mesures de Radon $d\mu_i(s)$.
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
avatar
arf pour une fois que je pouvais répondre je me suis fait griller en beauté par egoroff :P

Par contre cela s'arrete d'être vrai dès que ton intégrande devient stochastique, là tu ne peux plus affirmer sans le démontrer que le processus est gaussien. Ce qui peut arriver parfois.
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
En fait je voulais savoir pour :D
$$( \int_0^s f(u) dW^1_u, \int_0^s g(u) dW^2_u)$$
On parle toujours des lois mais jamais des processus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par solal.
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
avatar
Petite question-exercice pour solal si tes $W_1$ et $W_2$ ont une corrélation instantanée égale à $\rho$ (i.e. $d<W_1,W_2>_t=\rho.dt$) quelle est la covariance du couple :

$$( \int_0^s f(u) dW^1_u, \int_0^s g(u) dW^2_u)$$

Et peux-tu en déduire la loi de

$\int_0^s f(u) dW^1_u |\int_0^s g(u) dW^2_u)=a$
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
$\rho\int_0^t f(u)g(u)du$
mais je vois pas de théorème qui me dit clairement que le processus est gaussien, je sais juste que c'est une martingale.
Re: processus gaussien, intégrale stochastique
il y a onze années
avatar
Bah, quand même, tu sais que les accroissements sont gaussiens et indépendants ; ça suffit.
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