processus gaussien, intégrale stochastique

solal · September 2009

Bonjour,

J'aimerais savoir si à partir d'un mouvement brownien standard bidimensionnel $(W^1,W^2)$ le processus suivant :
$(\int_0^tW^1_s ds,\int_0^tW^2_s ds)$ est aussi gaussien ?
Si oui cela reste-t-il vrai pour le processus suivant $(\int_0^t f(s) W^1_s ds,\int_0^t g(s) W^2_s ds)$ où $f$ et $g$ sont déterministes. Ou mieux $(\int_0^t f(s) \int_0^s h(u) W^1_u du ds,\int_0^t g(s) \int_0^s j(u) W^2_u du ds)$

Merci.

egoroff · September 2009

Salut,

Où sont les intégrales stochastiques ? Allons plus loin : j'affirme que si $(X_1,...,X_n)$ est un processus gaussien à trajectoires mesurables et si $f_1,...,f_n$ sont des fonctions mesurables déterministes telles que les intégrales ont un sens, alors le processus $(\int_0^{\cdot} f_1(s) X_1(s) \, ds, ...,\int_0^{\cdot} f_n(s) X_n(s) \, ds)$ est encore gaussien, et mieux : le processus $2n$-dimensionnel $(X_1,...,X_n,\int_0^{\cdot} f_1(s) X_1(s) \, ds,...,\int_0^{\cdot} f_n(s) X_n(s) \, ds)$ est gaussien. Avec ça tu peux itérer autant que tu veux, et considérer également des intégrales stochastiques (de Wiener) en faisant un petit coup d'IPP. Tu peux même remplacer les $f_i(s) \, ds$ par des mesures de Radon $d\mu_i(s)$.

TheBridge · September 2009

arf pour une fois que je pouvais répondre je me suis fait griller en beauté par egoroff :P

Par contre cela s'arrete d'être vrai dès que ton intégrande devient stochastique, là tu ne peux plus affirmer sans le démontrer que le processus est gaussien. Ce qui peut arriver parfois.

solal · September 2009

En fait je voulais savoir pour

$$( \int_0^s f(u) dW^1_u, \int_0^s g(u) dW^2_u)$$
On parle toujours des lois mais jamais des processus

TheBridge · September 2009

Petite question-exercice pour solal si tes $W_1$ et $W_2$ ont une corrélation instantanée égale à $\rho$ (i.e. $d<W_1,W_2>_t=\rho.dt$) quelle est la covariance du couple :

$$( \int_0^s f(u) dW^1_u, \int_0^s g(u) dW^2_u)$$

Et peux-tu en déduire la loi de

$\int_0^s f(u) dW^1_u |\int_0^s g(u) dW^2_u)=a$