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sup{|X(u)-X(t)|} où X mvt brownien.

Envoyé par pierrreg 
pierrreg
sup{|X(u)-X(t)|} où X mvt brownien.
il y a dix années
Bonjour

Si on considère un mouvement brownien $X_t(w)$ et si on fixe un point $t$, je voudrais savoir s'il est possible d'estimer les propriétés de la variable aléatoire :
$$A(t,w)=\sup\{|X(u)-X(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}$$
où : $k_n(t)=[t2^n]$ (c'est a dire le plus petit entier inférieur à $t2^n$)
Notamment, sa moyenne, la variance, enfin le plus possible de caractéristiques...

Merci
pierrreg
question sur borne sup
il y a dix années
Bonjour,

J'ai une question concernant la borne supérieure : Si on considère une fonction continue $f$ définie sur $\R$ et si on considère :
$$\sup\{|f(u)-f(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}$$
où : $k_n(t)=[t2^n]$ (c'est à dire le plus petit entier inférieur à $t2^n$)

Qu'est-ce qui nous empêche de dire :
$\sup\{|f(u)-f(t)|,\ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}=\sup\{|f(u)-f(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}]\,\}$

Plus généralement si $f$ est continue sur $\R$, $B$ un ouvert de $\R$, a-t-on :
$\sup(f(x),\, x\in B)=\sup(f(x),\, x\in\bar{B})$

Merci

[Pourquoi ne pas rester dans la discussion que tu as ouvert sur le sujet ? AD]
Re: question sur borne sup
il y a dix années
avatar
Salut,

En ce qui concerne ta seconde question, il n'y a rien qui t'empêche de le dire, du moment que tu t'en convaincs. Ta dernière reformulation concentre bien l'essentiel du problème, tu devrais pouvoir y répondre par un raisonnement séquentiel, et plus généralement pour $f$ continue entre deux espaces topologiques tu peux te demander s'il y a un rapport entre $f(\overline{A})$ et $\overline{f(A)}$...

Pour la question initiale, ton sup est le max entre le sup avant $t$ et le sup après $t$ ; par la propriété de Markov, le retournement de temps etc. il me semble que tu trouves que ces deux variables aléatoires sont indépendantes, la première ayant la même loi que $\sup_{0 \leq s \leq t-(k_n(t)-1)2^{-n}} |X_s|$ et la seconde la même loi que $\sup_{0 \leq s \leq (k_n(t)+2)2^{-n}-t} |X_s|$. Or on sait que $\sup_{s \leq a} X_s$ a la même loi que $|X_a|$, donc avec tout ça tu peux calculer sans problème la fonction de répartition de ta variable $A_t$ en fonction de la fonction de répartition de la loi normale.
PIERRREG
Re: sup{|X(u)-X(t)|} où X mvt brownien.
il y a dix années
Merci,
justement, comment démontres tu que sup{X(t)} et |X(t)| ont la même loi?
Re: sup{|X(u)-X(t)|} où X mvt brownien.
il y a dix années
avatar
Il me semble que c'est basé sur le pricnipe de reflection.
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