sup{|X(u)-X(t)|} où X mvt brownien.

pierrreg0
pierrreg0
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour

Si on considère un mouvement brownien $X_t(w)$ et si on fixe un point $t$, je voudrais savoir s'il est possible d'estimer les propriétés de la variable aléatoire :
$$A(t,w)=\sup\{|X(u)-X(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}$$
où : $k_n(t)=[t2^n]$ (c'est a dire le plus petit entier inférieur à $t2^n$)
Notamment, sa moyenne, la variance, enfin le plus possible de caractéristiques...

Merci

Réponses

  • pierrreg0
    pierrreg0
    Bonjour,

    J'ai une question concernant la borne supérieure : Si on considère une fonction continue $f$ définie sur $\R$ et si on considère :
    $$\sup\{|f(u)-f(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}$$
    où : $k_n(t)=[t2^n]$ (c'est à dire le plus petit entier inférieur à $t2^n$)

    Qu'est-ce qui nous empêche de dire :
    $\sup\{|f(u)-f(t)|,\ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}[\,\}=\sup\{|f(u)-f(t)|, \ u\in\,[(k_n(t)-1)2^{-n},(k_n(t)+2)2^{-n}]\,\}$

    Plus généralement si $f$ est continue sur $\R$, $B$ un ouvert de $\R$, a-t-on :
    $\sup(f(x),\, x\in B)=\sup(f(x),\, x\in\bar{B})$

    Merci

    [Pourquoi ne pas rester dans la discussion que tu as ouvert sur le sujet ? AD]
  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    En ce qui concerne ta seconde question, il n'y a rien qui t'empêche de le dire, du moment que tu t'en convaincs. Ta dernière reformulation concentre bien l'essentiel du problème, tu devrais pouvoir y répondre par un raisonnement séquentiel, et plus généralement pour $f$ continue entre deux espaces topologiques tu peux te demander s'il y a un rapport entre $f(\overline{A})$ et $\overline{f(A)}$...

    Pour la question initiale, ton sup est le max entre le sup avant $t$ et le sup après $t$ ; par la propriété de Markov, le retournement de temps etc. il me semble que tu trouves que ces deux variables aléatoires sont indépendantes, la première ayant la même loi que $\sup_{0 \leq s \leq t-(k_n(t)-1)2^{-n}} |X_s|$ et la seconde la même loi que $\sup_{0 \leq s \leq (k_n(t)+2)2^{-n}-t} |X_s|$. Or on sait que $\sup_{s \leq a} X_s$ a la même loi que $|X_a|$, donc avec tout ça tu peux calculer sans problème la fonction de répartition de ta variable $A_t$ en fonction de la fonction de répartition de la loi normale.
  • pierrreg0
    pierrreg0
    Merci,
    justement, comment démontres tu que sup{X(t)} et |X(t)| ont la même loi?
  • TheBridge
    TheBridge
    Il me semble que c'est basé sur le pricnipe de reflection.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 1

1 Invité