Formule d'Itô
Bonsoir,
dans mon bouquin de calcul stochastique on définit l'intégrale d'un processus progressif f par rapport à un mouvement brownien B pour les processus f tels que E(Int f²dt) < +inf (*)
Ensuite est donnée la formule d'Itô qui donne dans le cas du mouvement brownien B que si phi est de classe C2 alors :
phi(Bt) = phi(B0) + int de 0 à t de phi'(Bs)dBs + autre terme
Mon problème est le suivant :
la preuve suppose que le terme int de 0 à t de phi'(Bs)dBs existe alors que cela n'est pas évident pour moi :
pourquoi le processus phi'(B) vérifierait-il (*) ?
Il y a bien une extension de l'intégrale stochastique au cas des processus f qui vérifient seulement : Pour tout T, int de 0 à T de f²dt est p.s. fini mais je ne vois pas non plus pourquoi phi'(B) serait de ce type.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Cordialement
dans mon bouquin de calcul stochastique on définit l'intégrale d'un processus progressif f par rapport à un mouvement brownien B pour les processus f tels que E(Int f²dt) < +inf (*)
Ensuite est donnée la formule d'Itô qui donne dans le cas du mouvement brownien B que si phi est de classe C2 alors :
phi(Bt) = phi(B0) + int de 0 à t de phi'(Bs)dBs + autre terme
Mon problème est le suivant :
la preuve suppose que le terme int de 0 à t de phi'(Bs)dBs existe alors que cela n'est pas évident pour moi :
pourquoi le processus phi'(B) vérifierait-il (*) ?
Il y a bien une extension de l'intégrale stochastique au cas des processus f qui vérifient seulement : Pour tout T, int de 0 à T de f²dt est p.s. fini mais je ne vois pas non plus pourquoi phi'(B) serait de ce type.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Cordialement
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Réponses
C'est une excellente question. En effet il faut en général considérer l'extension de l'intégrale d'Itô que tu cites, et $\phi(B)$ vérifie de manière évidente la condition.. réfléchis un petit peu !
Ceci dit si $\varphi$ ne croit pas trop vite à l'infini, par exemple polynômialement, alors on peut montrer qu'on est dans le premier cas.
Merci pour ton aide !
$E[\int_0^t \phi(B_s)^2ds]=+\infty$ et $\int_0^t \phi(B_s)^2ds$ est presque sûrement finie.
Montrant ainsi que $\int_0^t \phi(B_s)dB_s$ existe.
Par exemple $\phi(x)=e^{x^2/t}$ ?