Calcul d'une probabilité

Bonjour,

J'ai un exercice dont une question reste sans réponse malgré plusieurs heures de recherche !

L'énoncé est le suivant :

Soit X et Y deux vecteurs de loi normale N(0,1) avec rho = cor(X,Y).

Soit Z = (Y-rho*X)/sqrt(1-rho^2)

On a déjà montré que X et Z sont i.i.d de loi N(0,1). Il faut en déduire que :

Pr[X>0, Y>0] = 1/4 + 1/(2*pi)*arcsin(rho)

J'ai essayé d'introduire Z de plusieurs façons, mais pour l'instant la seule qui paraisse mener à quelque chose est de dire que Pr[X>0, Y>0] = Pr[X>0, Z>-rho/sqrt(1-rho^2) * X] mais la double intégrale qui en découle me semble bien compliquée à calculer...

J'apprécierais grandement un peu d'aide !

Bonne soirée,


Diz'


Ajout @ 23h22 : On peut écrire :

Pr[X>0, Y>0] = Pr[X>0, Z>-rho/sqrt(1-rho^2) * X] = Pr[X>0, Z>0] + Pr[X>0, 0>Z>-rho/sqrt(1-rho^2) * X]

donc Pr[X>0, Y>0] = 1/4 + Pr[X>0, 0>Z>-rho/sqrt(1-rho^2) * X] car Pr[X>0,Z>0]=Pr[X>0]*Pr[Z>0] par indépendance et Pr[X>0]=Pr[Z>0]=1/2

Donc il reste à montrer : Pr[X>0, 0>Z>-rho/sqrt(1-rho^2) * X] = 1/(2pi)*arcsin(rho)

La double intégrale se simplifie donc un peu mais je n'arrive toujours pas à la calculer...