Démo de la continuité du mvt brownien

pierrreg0 · September 2009

Titre initial : Démonstration incompréhensible de la continuité du mvt brownien
[Le titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour exposer ton problème. AD]

Bonjour
Je ne comprends pas une démonstration issue d'un livre. Le but est de démontrer qu'un mvt brownien satisfait la condition de Hölder :

Soit $X$ un mvt brownien.
Soit $\lambda\in [0,\frac{1}{2}]$. Il existe $H_0$ et $b$ tels que pour tout $h< H_0$ on a :
$$\Pr\left\{\left|X(t+h)-X(t)\right|\leq bh^\lambda\right\}=1$$
La démonstration est donnée en image ici : http://yfrog.com/07sanstitreujj

Comme vous pouvez le voir, on a le fait suivant, avec lequel je suis d'accord.
Il prend un intervalle dyadique de [0,1] et il en déduit ceci :
$$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$
Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que :
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})\leq 2^{-j\lambda}$$
Je ne comprends pas comment il fait pour passer de la ligne précédente, à la suivante. Quel argument lui permet d'en déduire qu'avec une probabilité de 1, il existe un $K$ qui lui permet d'annoncer l'inégalité.

Merci

egoroffski · September 2009

Salut,

Alors pour commencer "il existe $K$ tel que bla bla bla" où "bla bla bla" ne dépend pas de $K$ c'est un peu bizarre ; tu n'as rien oublié ?

Il y a du Borel-Cantelli là-dessous.

christophe c · September 2009

T'es à la montagne egoroff? Bon ski!!! Je t'envie...

pierrreg0 · September 2009

Alors pour commencer "il existe tel que bla bla bla" où "bla bla bla" ne dépend pas de c'est un peu bizarre ; tu n'as rien oublié ?
Je ne comprends pas ce que tu dis. Désolé. J'aurais oublié quoi? Ce n'est pas moi qui est ecrit le truc en pièce jointe.
C'est issu d'un livre

Il y a du Borel-Cantelli là-dessous.
c'est ce que je pense aussi lol.

egoroffski · September 2009

Je ne te parle pas de ce qui est écrit dans le livre. Je te parle de ce que tu as écrit :

{\it Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que : }
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})\leq 2^{-j\lambda}$$

Est-ce que tu n'as pas assez de recul pour voir que ça ne veut rien dire ? Si je dis "il existe un réel $x$ tel que $u^p>M$" ça ne te choque pas non plus ?

Ce n'est pas la seule erreur de recopie que tu as faite : dans $$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$ quel est le rapport entre $m,j$ à gauche et $k$ à droite ? ça ne te choque pas qu'il ne soit pas explicité ? es-tu sûr que c'est bien cet évènement dont on calcule la probabilité ?

Une fois clarifié ces point tu verras mieux à quelle suite d'évènements appliquer le lemme de Borel-Cantelli.

pierrreg0 · September 2009

Bon, ce n'est pas clair en effet:

Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que :
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda}$$

Il faut lire:
L'auteur en déduit qu'avec une probabilité de 1, il existe un entier $K$ tel que $\forall j>K$, on a:
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda}$$
Plus exactement:
$$Pr({\exists K / \forall j>K, |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda}})=1$$

Ce n'est pas la seule erreur de recopie que tu as faite : dans
$$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$
quel est le rapport entre $m,j$ à gauche et $k$ à droite ? ça ne te choque pas qu'il ne soit pas explicité ? es-tu sûr que c'est bien cet évènement dont on calcule la probabilité ?

Alors dans ce cas, il s'agit de:

$$Pr(\exists j>k, m\in [0,2^j] |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$

Il ne s'agit pas de cet évènement là:
$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda}$

mais de celui-ci: $\exists j>k, m\in [0,2^j] |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda}$

Une fois clarifié ces point tu verras mieux à quelle suite d'évènements appliquer le lemme de Borel-Cantelli.
Je ne vois pas très bien encore, mais je pense que ce sont des suites d'évènements sur les indices.

egoroffski · September 2009

En effet une suite d'évènement est généralement indexée par un indice

Bon ça va déjà mieux, en fait il faut appliquer la deuxième correction à la première, tu as des évènements $A_k$ qui sont de la forme "$\exists j,m \cdots$" (c'est-à-dire $\bigcup_{j,m} \cdots$), tu appliques Borel-Cantelli pour voir que tous les $A_k$ sont faux à partir d'un certain rang (aléatoire) $K=K(\omega)$.

pierrreg0 · September 2009

Dans Le lemme de Borel cantelli, il y a un $limsup A_n$
Dans le cas présent, que sera le $\limsup$?
c'est ca que je n'arrive pas à voir.

egoroffski · September 2009

Il faut comprendre que $\lim \sup A_n $ est l'évènement "une infinité de $A_n$ sont réalisés" ; autrement dit c'est l'ensemble des $\omega$ tels que $C(\omega)=\{n \in \N \, | \, \omega \in A_n\}$ est infini ; autrement dit, ne pas être dans la lim sup c'est n'être que dans un nombre fini de $A_n$, donc ne plus être dans aucun $A_n $ à partir d'un certain rang $N=\max C(\omega)+1$ (qui dépend de $\omega$).

pierrreg0 · September 2009

Je ne sais pas si c'est juste, mais je fais :

On fixe $j$ et on pose : $A_n=(\omega : \exists m\in [0...2^j] / |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda})$
On pose ensuite : $\displaystyle \bigcup_{k=0..2^j} A_k$.
Et on pose enfin $\displaystyle \limsup A_n=\bigcap_{j=0..\infty}\bigcup_{k=0..2^j} A_k$
On peut appliquer le lemme de BC car on sait que la somme des probas des $A_n$ sera convergente.
On en déduit donc que $P(\limsup A_n)=0$.

Mais je ne sais pas quoi faire de ce résultat. Je ne vois pas le rapport entre ce résultat, et le résultat qu'on obtient dans le truc que j'ai envoyé.
Merci

egoroffski · September 2009

Mais.. $n$ n'apparait pas dans $A_n$ ! Ensuite ton expression de la lim sup est un peu fantaisiste... Je t'ai dit plus haut quels évènements considérés, ils sont indexés par $k$ pas par $n$.

pierrreg0 · September 2009

Pardon, en fait, il faut indexer $A$ par $m$, pas par $n$:

$A_m=(\omega : \exists m\in [0...2^j] / |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda})$

$\limsup A_k$ c'est l'ensemble des $\omega$ qui sont contenus dans les $A_k$. C'est -à-dire l'ensemble des $\omega$ tels que $\{n/\omega\in A_n}$ est infinis.

Là, ca marche.
non?

pierrreg0 · September 2009

Ensuite ton expression de la lim sup est un peu fantaisiste...

La limsup a une définition bien précise comme étant une intersection d'union d'ensembles:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Borel-Cantelli

Et je veux expliciter la limsup comme étant une intersection d'union d'ensembles.

egoroffski · September 2009

Je crois que tu ne lis pas ce que j'écris ? Les variables $k$ et $m$ sont des variables locales qui servent à définir $A_k$. Il n'y a pas de $A_m$ ne de $A_j$. A la limite, tu peux définir $A_k(j,m)$ et $A_k$ est l'union sur $m,j$ des $A_k(j,m)$. Mais la lim sup porte sur les $A_k$ (d'aialleurs ça n'aurait pas de sens de la faire porter sur $j$ et $m$ qui parcourent un ensemble d'indices fini à $k$ fixé).

pierrreg0 · September 2009

tu 'nes donc pas d'accord avec ma définition des $A_k$.

Est-ce que tu peux écrire stp ta propre définition des $A_k$? pour qu'on soit d'accord,
merci

pierrreg0 · September 2009

Est-ce que c'est cette définition qu'il faut prendre en compte, des évènements $A_k $ ?
$$A_k= \{\exists j>k/ \forall m\in\{1,\ldots,2^j},\ |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})| \leq 2^{-j\lambda}\}$$

egoroffski · September 2009

Bon :

- on note, pour $j \in \N$ et $1 \leq m \leq 2^j$ : $B_{m,j})=\{ |X_{(m-1)2^{-j}}-X_{m2^{-j}}| > 2^{-j \lambda} \}$ ;

- on définit $A_k=\bigcup_{j \geq k} \bigcup_{1 \leq m \leq 2^j} B_{m,j}$ ;

- on montre que $\mathbb{P}(A_k) \leq c_2 2^{-k+1}$

- on applique le lemme de Borel-Cantelli à la suite $(A_k)$ ; on en déduit $\mathbb{P}( \lim \sup A_k)=0$.

Autrement dit, pour tout $\omega$ hors d'un ensemble négligeable, on n'est plus dans $A_k$ à partir d'un certain rang $K(\omega)$ : $\forall k \geq K(\omega), \, \omega \not\in A_k$. On en déduit qu'on n'est dans aucun $B_{m,j}$ pour $j \geq K(\omega)$ et $m$ là où il faut, et donc que $\forall j \geq K(\omega), \, \forall m \, \mathrm{tq} \, 1 \leq m \leq 2^j , \, |X_{(m-1)2^{-j}}(\omega)-X_{m2^{-j}}(\omega)| \leq 2^{-j \lambda}$.

egoroffski · September 2009

Non, ce n'est pas $\exists j, \, \forall m$ mais $\exists j, \, \exists m$ ("for some" $\neq$ "for all").

pierrreg0 · September 2009

Je reproduis textuellement l'énoncé que j'ai dans le livre en question:

Suppose $0<\lambda< 1/2$. With probability 1 the Brownian sample function
X:[0,1]->R satisfies:

$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$

for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.

Lorsqu'on dit: "with probability 1 the Brownian sample function .... satisfies"
sur quelle variable aléatoire s'applique cette probabité.
Il faut en fait lire:
Supposons $0<\lambda< 1/2$. Il existe, avec une probabilité 1, un coefficient $H_0$ et un coefficient $b$ tel que: $|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$

Donc la probabilité porte sur l'existence. Ensuite, soit il y a existence, soit il n'y a pas existence. Donc il y a deux possibilité, soit 0 ou 1.

Au départ, je croyais
$$P(|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda})=1$$

mais bien sur, c'est faux, car la probabilité ne porte pas sur cet événement.

egoroffski · September 2009

Suppose $0<\lambda< 1/2$. With probability 1 the Brownian sample function
X:[0,1]->R satisfies:

$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$

for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.

...8-)

Là encore ça n'a pas de sens, $h$ n'est pas quantifié et $H_0$ n'a a priori aucun lien avec la propriété énoncée ; est-ce que tu pourrais te décider à faire l'effort de reproduire les énoncés en entier ?

La probabilité ne porte pas sur une variable aléatoire, la phrase signifie que pour tout $\omega$ hors d'un certain ensemble négligeable $N \subset \Omega$, la propriété est vraie pour la trajectoire $X(\omega)=(X_t(\omega))_{t \in T}$, qui est une certaine fonction (aléatoire puisque dépendant de $\omega$).

pierrreg0 · September 2009

j'ai oublié de quantifier le $h$:

Suppose $0<\lambda< 1/2$. With probability 1 the Brownian sample function
X:[0,1]->R satisfies:

$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$ $(|h[<H_0)$

for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.

Ok, je comprends. Alors pour éviter des confusions, ne devrait-on pas parler de mesure et d'ensemble négligeable plutôt que de probabilité, même si cela revient au même.

Dans l'énoncé, faut il comprendre que omega est fixé? Et que X(t,omega) et en quelques sortes une fonctions de omega?

D'ailleurs, je ne comprends même pas ce qu'est omega. Je sais qu'il prend ses valeurs dans R, c'est l'ensemble $\Omega$.

Ne faut il pas vérifier si la propriété est mesurable?

Démo de la continuité du mvt brownien

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