Démo de la continuité du mvt brownien
Titre initial : Démonstration incompréhensible de la continuité du mvt brownien
[Le titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour exposer ton problème. AD]
Bonjour
Je ne comprends pas une démonstration issue d'un livre. Le but est de démontrer qu'un mvt brownien satisfait la condition de Hölder :
Soit $X$ un mvt brownien.
Soit $\lambda\in [0,\frac{1}{2}]$. Il existe $H_0$ et $b$ tels que pour tout $h< H_0$ on a :
$$\Pr\left\{\left|X(t+h)-X(t)\right|\leq bh^\lambda\right\}=1$$
La démonstration est donnée en image ici : http://yfrog.com/07sanstitreujj
Comme vous pouvez le voir, on a le fait suivant, avec lequel je suis d'accord.
Il prend un intervalle dyadique de [0,1] et il en déduit ceci :
$$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$
Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que :
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})\leq 2^{-j\lambda}$$
Je ne comprends pas comment il fait pour passer de la ligne précédente, à la suivante. Quel argument lui permet d'en déduire qu'avec une probabilité de 1, il existe un $K$ qui lui permet d'annoncer l'inégalité.
Merci
[Le titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour exposer ton problème. AD]
Bonjour
Je ne comprends pas une démonstration issue d'un livre. Le but est de démontrer qu'un mvt brownien satisfait la condition de Hölder :
Soit $X$ un mvt brownien.
Soit $\lambda\in [0,\frac{1}{2}]$. Il existe $H_0$ et $b$ tels que pour tout $h< H_0$ on a :
$$\Pr\left\{\left|X(t+h)-X(t)\right|\leq bh^\lambda\right\}=1$$
La démonstration est donnée en image ici : http://yfrog.com/07sanstitreujj
Comme vous pouvez le voir, on a le fait suivant, avec lequel je suis d'accord.
Il prend un intervalle dyadique de [0,1] et il en déduit ceci :
$$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$
Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que :
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})\leq 2^{-j\lambda}$$
Je ne comprends pas comment il fait pour passer de la ligne précédente, à la suivante. Quel argument lui permet d'en déduire qu'avec une probabilité de 1, il existe un $K$ qui lui permet d'annoncer l'inégalité.
Merci
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Réponses
Alors pour commencer "il existe $K$ tel que bla bla bla" où "bla bla bla" ne dépend pas de $K$ c'est un peu bizarre ; tu n'as rien oublié ?
Il y a du Borel-Cantelli là-dessous.
Je ne comprends pas ce que tu dis. Désolé. J'aurais oublié quoi? Ce n'est pas moi qui est ecrit le truc en pièce jointe.
C'est issu d'un livre
Il y a du Borel-Cantelli là-dessous.
c'est ce que je pense aussi lol.
{\it Ensuite, l'auteur en déduit qu'avec une proba de 1, il existe un entier $K$ tel que : }
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})\leq 2^{-j\lambda}$$
Est-ce que tu n'as pas assez de recul pour voir que ça ne veut rien dire ? Si je dis "il existe un réel $x$ tel que $u^p>M$" ça ne te choque pas non plus ?
Ce n'est pas la seule erreur de recopie que tu as faite : dans $$Pr(|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$ quel est le rapport entre $m,j$ à gauche et $k$ à droite ? ça ne te choque pas qu'il ne soit pas explicité ? es-tu sûr que c'est bien cet évènement dont on calcule la probabilité ?
Une fois clarifié ces point tu verras mieux à quelle suite d'évènements appliquer le lemme de Borel-Cantelli.
Il faut lire:
L'auteur en déduit qu'avec une probabilité de 1, il existe un entier $K$ tel que $\forall j>K$, on a:
$$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda}$$
Plus exactement:
$$Pr({\exists K / \forall j>K, |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda}})=1$$
Alors dans ce cas, il s'agit de:
$$Pr(\exists j>k, m\in [0,2^j] |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda})\leq c_22^{-k+1}$$
Il ne s'agit pas de cet évènement là:
$|X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda}$
mais de celui-ci: $\exists j>k, m\in [0,2^j] |X((m-1)2^{-j})-X(m2^{-j})|>2^{-j\lambda}$
Une fois clarifié ces point tu verras mieux à quelle suite d'évènements appliquer le lemme de Borel-Cantelli.
Je ne vois pas très bien encore, mais je pense que ce sont des suites d'évènements sur les indices.
Dans le cas présent, que sera le $\limsup$?
c'est ca que je n'arrive pas à voir.
On fixe $j$ et on pose : $A_n=(\omega : \exists m\in [0...2^j] / |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda})$
On pose ensuite : $\displaystyle \bigcup_{k=0..2^j} A_k$.
Et on pose enfin $\displaystyle \limsup A_n=\bigcap_{j=0..\infty}\bigcup_{k=0..2^j} A_k$
On peut appliquer le lemme de BC car on sait que la somme des probas des $A_n$ sera convergente.
On en déduit donc que $P(\limsup A_n)=0$.
Mais je ne sais pas quoi faire de ce résultat. Je ne vois pas le rapport entre ce résultat, et le résultat qu'on obtient dans le truc que j'ai envoyé.
Merci
$A_m=(\omega : \exists m\in [0...2^j] / |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})|\leq 2^{-j\lambda})$
$\limsup A_k$ c'est l'ensemble des $\omega$ qui sont contenus dans les $A_k$. C'est -à-dire l'ensemble des $\omega$ tels que $\{n/\omega\in A_n}$ est infinis.
Là, ca marche.
non?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Borel-Cantelli
Et je veux expliciter la limsup comme étant une intersection d'union d'ensembles.
Est-ce que tu peux écrire stp ta propre définition des $A_k$? pour qu'on soit d'accord,
merci
$$A_k= \{\exists j>k/ \forall m\in\{1,\ldots,2^j},\ |X(m2^{-j})-X((m-1)2^{-j})| \leq 2^{-j\lambda}\}$$
- on note, pour $j \in \N$ et $1 \leq m \leq 2^j$ : $B_{m,j})=\{ |X_{(m-1)2^{-j}}-X_{m2^{-j}}| > 2^{-j \lambda} \}$ ;
- on définit $A_k=\bigcup_{j \geq k} \bigcup_{1 \leq m \leq 2^j} B_{m,j}$ ;
- on montre que $\mathbb{P}(A_k) \leq c_2 2^{-k+1}$
- on applique le lemme de Borel-Cantelli à la suite $(A_k)$ ; on en déduit $\mathbb{P}( \lim \sup A_k)=0$.
Autrement dit, pour tout $\omega$ hors d'un ensemble négligeable, on n'est plus dans $A_k$ à partir d'un certain rang $K(\omega)$ : $\forall k \geq K(\omega), \, \omega \not\in A_k$. On en déduit qu'on n'est dans aucun $B_{m,j}$ pour $j \geq K(\omega)$ et $m$ là où il faut, et donc que $\forall j \geq K(\omega), \, \forall m \, \mathrm{tq} \, 1 \leq m \leq 2^j , \, |X_{(m-1)2^{-j}}(\omega)-X_{m2^{-j}}(\omega)| \leq 2^{-j \lambda}$.
Suppose $0<\lambda< 1/2$. With probability 1 the Brownian sample function
X:[0,1]->R satisfies:
$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$
for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.
Lorsqu'on dit: "with probability 1 the Brownian sample function .... satisfies"
sur quelle variable aléatoire s'applique cette probabité.
Il faut en fait lire:
Supposons $0<\lambda< 1/2$. Il existe, avec une probabilité 1, un coefficient $H_0$ et un coefficient $b$ tel que: $|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$
Donc la probabilité porte sur l'existence. Ensuite, soit il y a existence, soit il n'y a pas existence. Donc il y a deux possibilité, soit 0 ou 1.
Au départ, je croyais
$$P(|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda})=1$$
mais bien sur, c'est faux, car la probabilité ne porte pas sur cet événement.
X:[0,1]->R satisfies:
$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$
for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.
...8-)
Là encore ça n'a pas de sens, $h$ n'est pas quantifié et $H_0$ n'a a priori aucun lien avec la propriété énoncée ; est-ce que tu pourrais te décider à faire l'effort de reproduire les énoncés en entier ?
La probabilité ne porte pas sur une variable aléatoire, la phrase signifie que pour tout $\omega$ hors d'un certain ensemble négligeable $N \subset \Omega$, la propriété est vraie pour la trajectoire $X(\omega)=(X_t(\omega))_{t \in T}$, qui est une certaine fonction (aléatoire puisque dépendant de $\omega$).
Suppose $0<\lambda< 1/2$. With probability 1 the Brownian sample function
X:[0,1]->R satisfies:
$$|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$$ $(|h[<H_0)$
for some $H_0>0$, where $b$ depends only on $\lambda$.
Ok, je comprends. Alors pour éviter des confusions, ne devrait-on pas parler de mesure et d'ensemble négligeable plutôt que de probabilité, même si cela revient au même.
Dans l'énoncé, faut il comprendre que omega est fixé? Et que X(t,omega) et en quelques sortes une fonctions de omega?
D'ailleurs, je ne comprends même pas ce qu'est omega. Je sais qu'il prend ses valeurs dans R, c'est l'ensemble $\Omega$.
Ne faut il pas vérifier si la propriété est mesurable?