Espérance Mathématique

chrisoro · October 2009

Titre initial : Espérance Mathématique: un problème posé par une star de la finance !
[Un titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour développer. AD]

Bonjour à tous,

Je me trouve face à un problème posé par une star de la finance que je ne parviens pas à résoudre...

Une solution est donné mais elle n'est pas détaillée.

Quelqu'un pourrait-il me venir en aide ?
Merci beaucoup !!!

Voici l'énoncé et sa solution:

J'ai 100 euros. Et je vais jouer à pile ou face. Si je gagne, j'encaisse le double de ma mise. Si je perds, je ne perds que le montant de ma mise. J'ai donc bien une espérance mathématique largement positive.
Je dois choisir entre les 4 options suivantes :
• je mise 10% du montant total de mon capital à chaque lancer.
• je mise 25% du montant total de mon capital à chaque lancer.
• je mise 40% du montant total de mon capital à chaque lancer.
• je mise 51% du montant total de mon capital à chaque lancer.

Quel est le montant idéal à miser pour qu'au terme de 100 lancers je réalise la meilleure performance possible ?

Voilà la solution :
• les 100 euros rapportent 4 700 euros
• les 100 euros rapportent 36 100 euros
• les 100 euros rapportent 4 700 euros
• les 100 euros rapportent 31 euros

gerard0 · October 2009

Bonjour, Chrisoro.

Bien décevante, la star de la finance ! On comprend mieux la crise financière.
A moins que ce soit un défaut d'énoncé :
" Si je gagne, j'encaisse le double de ma mise. Si je perds, je ne perds que le montant de ma mise."
L'interprétation classique de ce texte est que je mise 100 €, qui sont soit perdus, soit rendus doublés. Donc le gain moyen est 0. Dans ce cas, les parties étant indépendantes, le gain moyen final est 0.

A moins que l'on reçoive 300€ quand on gagne. Là, le jeu n'est plus équilibré, et l'espérance de gain est positive. Il faut peut-être interpréter la question de cette façon.

Cordialement.

NB : Madoff était une star de la finance.

Lucas · October 2009

Bonjour Gérard,

"L'interprétation classique ..."

Ce n'est justement pas l'interprétation "classique" qu'il faut faire ici puisque chrisoro précise "espérance mathématique positive".

Par contre, "largement positive" est un peu exagéré, vu que ça dépend de ton capital. D'ailleurs chrisoro le résultat du jeu est forcément aléatoire, ça ne peut pas être 4700 Euros.

TheBridge · October 2009

y a un truc pas net dans ton énoncé
Je calule l'espérance pour le premier lancé

Soit $\lambda$ la part de mon capital que je mise. Peu importe mon choix à chaque tirage j'ai une chance sur deux de gagner ) donc l'espérance se calcule comme suit :
$M_0=100$
$M_1=M_0.(1-\lambda)+ 1/2 . (2.\lambda.M_0 +1/2 . 0)=M_0$
et ce quel que soit $\lambda$ donc au bout de 100 lancers tu restes toujours à 100€ en espérance vu de ton premier lancer, c'est ce qu'on appelle une martingale.

(en partant d'une part fixe de capital au lieu d'un montant proportionnel tu trouves le même résultat)

mpif0 · October 2009

Si peu ?
Que signifie la solution ? C'est l'espérance ? Si on veut juste maximiser l'espérance on a interêt à jouer le maximal à toup les coups (car l'espérance sur une partie est positive proportionelle à la mise). Par contre on maximise les risques...

On a tout de même une chance sur $2^{100}$ de gagner à tous les coups. Si on mise tout son capital à chaque fois, on multiple son capital par $3^{100}$, si on commence à 100 euros, l'espérance est de $100*3^{100}/2^{100}$ soit environ $40656117753521523739$, ce qui fait quarante trillions six cent cinquante-six mille cent dix-sept billions sept cent cinquante-trois milliards cinq cent vingt et un millions cinq cent vingt-trois mille sept cent trente-neuf euros.

Cependant c'est risqué, je pense... On est quasiment sur de tout perdre, mais on a des chances ridiculement faible d'avoir un gain ridiculement élevé (dont on ne pourait rien faire).

Je n'ai pas fait le calcul pour 51/100, mais je pense qu'on a une espérance bien plus élevée que celle que vous suggérez. N'y a-t-il pas une demande de minimisation des prises de risques ? Du genre on a au moins quatre-vingt-dix-neuf pour cent de chance de gagner cette somme ?

gerard0 · October 2009

Effectivement, Lucas,

le texte semble sous entendre qu'on gagne en moyenne 50 €. Mais la partie que j'ai citée ne dit pas qu'on gagne la mise plus deux fois la mise (En général, on ne rajoute pas la mise au gain).
La question est au moins mal posée.

Cordialement.

Steven Neutral · October 2009

Lucas on demande l'espérance.

TheBridge je dirais **** EDIT : j'avais mal lu l'énoncé ****

egoroffski · October 2009

C'est vrai que l'énoncé n'est pas clair. Si on prend l'interprétation : on récupère sa mise + deux fois la mise, alors on peut reprendre l'argument de TheBridge, avec $\mathbb{E}(M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\frac{1}{2}(1-\lambda)M_n + \frac{1}{2}(1+2\lambda)M_n=(1+\lambda/2)M_n$ ; ceci montre que $M_n$ est une sous-martingale (croissante en moyenne) et même que $(1+\lambda/2)^{-n}M_n$ est une martingale (décomposition de Doob-Meyer multiplicative pour les amateurs). En particulier $\mathbb{E}(M_N)=(1+\lambda/2)^N M_0$ qui me paraît être une fonction croissante de $\lambda$ (tant que $\lambda < 1$). En fait le résultat tient encore pour $\lambda=1$ il me semble, dans ce cas $1+\lambda/2=3/2$ qui est bien le taux moyen de croissance de la fortune (même dans ce cas il y a une probabilité conditionnelle $1/2$ de ruine à chaque étape)

chrisoro · October 2009

Salut à tous et merci pour vos messages !

En fait l'énoncé est bon. L'auteur de cet énoncé s'est inspiré d'un livre écrit par un auteur américain: Ralph Vince, qui dans un ouvrage intitulé "The mathematics of money management" pose ce problème.

Ralph Vince explique dans cet ouvrage la chose suivante:

En jouant à ce jeu de pile ou face tél que défini au début de cette file, nous allons à chaque lancer miser une fraction de notre capital.
Il démontre qu'il existe une valeur f de la fraction de capital misé qui permet de maximiser les gains.
Cette valeur de f se calcule grâce à la formule de KELLY découverte par ce dernier en 1956.
f=((B+1)*P-1)/B
où B représente le ratio montant du gain/montant de la perte, et P est la probabilité de gain.

Dans le cas présent B=2 car "Si je gagne, j'encaisse le double de ma mise. Si je perds, je ne perds que le montant de ma mise"
et P=0.5 (jeu de pile ou face)

On a donc f=((2+1)*0.5-1)/2
f=0.25

Le gain à ce jeu sera maximal si je mise à chaque fois 25% de mon capital en main.

Mais bon j'ai pas encore trouvé comment on arrive aux chiffres donnés dans la solution au début de la file...

Un extrait du livre:

Refer now to Figure 1-1. This represents a game where you have a
50% chance of winning $2 versus a 50% chance of losing $1 on every
play. Notice that here the optimal f is .25 when the TWR is 10.55 after
40 bets (20 sequences of +2, -1). TWR stands for Terminal Wealth
Relative. It represents the return on your stake as a multiple. A TWR of
10.55 means you would have made 10.55 times your original stake, or
955% profit. Now look at what happens if you bet only 15% away from
the optimal .25 f. At an f of .1 or .4 your TWR is 4.66. This is not even
half of what it is at .25, yet you are only 15% away from the optimal and
only 40 bets have elapsed!
13602

alekk · October 2009

oui, le critere de Kelly est bien connu dans les domaines de la finance/proba, mais c'est un petit peu different de l'histoire que tu nous racontes au debut de ce file. Wiki est pas mal sur ce sujet. Ca serait interessant de prouver ce critere de Kelly, et d'en discuter un peu plus ...

Koniev · October 2009

Bonjour
Pendant mon service militaire j'ai joué au "21" en misant par exemple le 1/10 ou 1/5 de mon avoir. Ainsi si je perdais je n'étais pas ruiné. Si je gagnais mon avoir augmentait donc ma mise et j'ai ainsi gagné des parties mémorables, j'ai toujours les pipes de marques réputées données pour éponger les dettes de jeu. des copains. Je précise que je mettais pour débuter une somme fixée à l'avance que je ne dépassais pas en cas de malchance.
Quand on dit je mise 10% de mon avoir est-ce la somme en poche au début ou la somme en poche avant de miser à chaque coup ?
Cordialement
koniev

chrisoro · October 2009

quand on dit je mise 10%, c'est 10 % de la somme en poche au moment du lancer...

chrisoro · October 2009

Voici la solution à l'exercice proposé.
La solution proposée est issue des travaux exposés dans le livre dont j'ai parlé plus haut.
Ne me demandez pas la démonstration, j'en suis incapable et elle n'est pas donnée dans l'ouvrage en question.

La fraction optimale de capital à miser est donné par la formule de Kelly, comme je l'ai dit dans mon précédent post, soit dans le cas de cet exercice f=0.25

La performance de la stratégie au bout de n lancer est donné par la formule suivante:

Perf(n)=[(1+f*B)^Ncg*(1-f)^Ncp] où B est le ratio Montant gain/Montant perte, Ncg=Nombre de coups gagnants et Ncp=Nombre de coups perdants.

Perf est un facteur de croissance du capital.

Dans l'exercice qui nous concerne, B=2, Ncg=50 et Ncp=50
Pour une mise de 10%, on a f=0.1 donc Perf(100)=46.9 donc capital final=4690 €
Pour une mise de 25%, on a f=0.25 donc Perf(100)=361 donc capital final=36100 €
Pour une mise de 40%, on a f=0.40 donc Perf(100)=46.9 donc capital final=4690 €
Pour une mise de 51%, on a f=0.51 donc Perf(100)=0.6 donc capital final=60€ (Là le résultat est différent des 31€ annoncés, sans doute un bug...)

egoroffski · October 2009

Hum hum.. donc en jouant 100 fois à pile ou face, on tombe toujours exactement 50 fois sur pile et 50 fois sur face. Intéressant ! Rappelle-moi qui est l'auteur de ce livre ?

PS : l'histoire ne dit pas ce qui se passe lorsqu'on fait un nombre impair de lancers

chrisoro · October 2009

Non bien sûr mais l'espérance de gain est bien celle donnée dans cette solution.

egoroffski · October 2009

Huh huh, don't think so. Je prends $N=2$ lancers et $f=1$ ; dans ce cas la formule donne, avec $Ncg=Ncp=1$, un espérance nulle. Et pourtant les gains sont toujours positifs et il y a une chance sur 4 de gagner deux fois donc d'obtenir 9 fois sa mise de départ, et donc l'espérance vaut au moins $9/4=2,25$.

L'erreur est de croire que $\mathbb{E}(q^X)=q^{\mathbb{E}(X)}$.

mpif0 · October 2009

C'est bien ce qui me semblait, l'auteur de ce poste (ou de ce livre) s'est juste mal expliqué

En fait ce que ça signifie est qu'on a une chace sur deux (environ) d'obtenir 36100 euros (ou plus), en pariant 25/100 de son avoir à chaque fois. Et que c'est "optimal" au sens qui suit.

Notons $p$ la probabilité que l'on gagne 50 fois (ou plus) sur 100 parties, alors $p$ vaut environ $0,54$.

Pour une mise de m (pour cent) on note $x(m)$ le nombre maximal tel que la probabilité que le gain soit supérieur ou égal à $x(m)$ soit $p$. Il ext facile de vérifier que $x$ est maximal en $m=0,25$.

Il n'y a rien de bien mystérieux, il faut juste exprimer ce que représentent les chiffres. De plus pourquoi ce choix de "milieux" ?

On pourait regarder d'autres problèmes analogues. Par exemple qu'elle somme devrait on parier pour maximiser la probabilité de gagner au moins 1000 euros ? Pareille avec n'importe quel somme ?
(on sent des formules avec du log).

chrisoro · October 2009

Tout à fait d'accord mpif.
Le but de l'exercice réside surtout dans le fait de démontrer qu'on a tout intérêt à miser 25% du capital en main...

mpif0 · October 2009

Je ne pense pas que ce soit l'optimal. Tout dépend du but qu'on s'est fixé. Si par exemple on veut gagner "peu", mais presque à coup sûr, on a interêt à minimiser, disons 10% à chaque fois. Dans ce cas on a 97% de chance d'avoir à la fin 264€ ou plus.

Si au contraire il est important de gagner beaucoup, quite à prendre plus de risques, on a interêt à parier plus. Par exemple si votre but et de gagner 278 millions d'euros, vous avez interêt à parier 40% de votre avoir à chaque vois. La probabilité de gagner 278 millions est alors de 0,17% (ça fait pas beaucoup je sais).

Si votre but est de gager 4,75 millions, alors pariez à chaque fois 34% de votre avoir. Vous aurez alors 13,5% de chance de gagner 4,75 millions ou plus.

En conclusion pariez plus pour gagner plus, mais prendre aussi plus de risques.

Espérance Mathématique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7