Univers d'une expérience [Seconde]

Gilles old · October 2009

Bonjour,

Voici un exercice proposé dans le manuel Hyperbole de 2009.

Un hôpital comporte deux salles d'opération (S1 et S2) qui ont la même probabilité d'être occupées. La probabilité que l'une des salles soit occupée est 0,9 ; celle que les deux salles soient occupées vaut 0.5
Quelle est la probabilité :
a) que la salle S1 soit libre ?
b) que les deux salles soient libres ?
c) que l'une des salles au moins soit libre ?
d) qu'une seule salle soit libre ?

Exercice intéressant pour manipuler la formule de Poincaré désormais au programme.

Une question me taraude cependant, même si elle est inutile pour répondre à l'exercice : j'aurais tendance à dire que les issues de cette "expérience aléatoire" (non précisée mais sous-entendue) sont au nombre de quatre : (S1 libre et S2 occupée) et (S1 libre et S2 libre) et (S1 occupée et S2 occupée) et (S1 occupée et S2 libre). Est-ce bien comme cela que vous modéliseriez "l'expérience" ?

Merci d'avance.

gerard0 · October 2009

Bonjour.

Effectivement,

c'est un des univers possibles. Mais de nombreux univers sont possibles en analysant les raisons de l'occupation des salles. On remarque que les occupations des salles ne sont pas indépendantes, mais presque. Ce qui correspond à une situation courante de salles affectées chacune à un type d'opération, et exceptionnellement utilisées pour d'autres cas.
Depuis une quinzaine d'année, de nombreux chercheurs en santé ou en gestion s'intéressent à ce type de problème (affectation optimale des moyens opératoires, nombre minimal de salles ou d'anesthésistes, etc.) et modélisent parfois les durées d'occupation pour affiner leurs études. Utile à savoir pour le thème "les maths, ça sert à quoi ?".

Cordialement

Gilles old · October 2009

Merci Gérard.

Je vais tâcher de développer le formalisme des probabilités auprès de mes secondes, même si je risque de me heurter à une bonne dose d'incompréhension. Mais comme je pense que les probabilités ne vont cesser de se renforcer dans les années à venir dans les programmes de lycée, je vais faire du mieux possible.
De plus pour ceux qui verront ça en première et terminale, les v.a. c'est pas de la tarte. Je fais peut-être une erreur en prenant ma propre expérience, mais je n'ai commencé à comprendre quelque chose aux probabilités (et surtout aux v.a.) que lorsqu'on on m'a formalisé cela à fac. Et je n'ai pas fini de comprendre d'ailleurs... Inquiétant !

Philippe Malot · October 2009

Personnellement j'ai trouvé que cette séquence sur les probabilités s'était bien passée l'an dernier, avec mes élèves de 3e.

mpif0 · October 2009

La probabilité que l'une des salles soit occupée est 0,9.

Je ne trouve pas la phrase très claire. Cela veut-il dire que la probabilité que S1 soit occupé est de 0,9 et pareille la probabilité que S2 soit occupé est de 0,9.

Ou bien cela signifie que la probabilité que l'une des deux sale au moins (ou exactement) soit occupé soit de 0,9.

Bon on peut tout de suite exclure le "exactement", en voyant la probabilié suivante, mais ça reste ambigüe.

Gilles old · October 2009

Philippe, quand j'ai défini un événement comme un sous-ensemble de l'univers, une élève est venue me voir à la fin de l'heure pour me demander si elle pouvait utiliser les définitions de l'an dernier, plus simples...

mpif, je ne m'étais pas posé la question, je l'avais pris au sens "au moins", sans doute guidé comme toi par la suite.

En revanche l'exercice posé tel quel, je voudrais bien savoir combien d'élèves de secondes sont capables de le faire (il est sur ma feuille d'exos, on verra bien !)

isozv1 · October 2009

Bonjour,

En tant que Suisse, suivant le programme scolaire suisse, dans lequel il n'y a pas la formule de Poincaré je serai intéressé à voir comment vous introduisez pédagogiquement la formule de Poincaré.

Est-ce que vous pouvez me le montrer je suis juste curieux...

Merci

Gilles old · October 2009

Ah ! En voilà une question qu'elle est bonne. Et bien moi je vais me contenter de faire un diagramme en disant : "ben vous voyez bien qu'il y a des éléments qu'on compte deux fois". Quant à la preuve, je ne compte pas la faire dans le cours, peut-être en TD selon mon avancement, mais ce n'est pas une priorité.

Les avis d'autres participants m'intéressent, notamment sur le passage du diagramme (qui permet de visualiser une formule portant sur le cardinal, fini, des événements) aux probabilités.

gerard0 · October 2009

Bonjour Gilles.

Si je comprends bien, ce que vous appelez "formule de Poincaré" c'est :
$$ P(A \cup

= P(A) + P(B) - P(A \cap

$$
C'est un nom bien tardif pour une formule utilisée déjà par les premiers probabilistes. La formule de Poincaré est sa généralisation.
Le dessin est une excellente façon de la faire comprendre, la justification pouvant se faire ensuite par le cas d'addition des probabilités d'événements incompatibles : $A=(A - A\cap

\cup (A\cap

$.

Cordialement

Gilles old · October 2009

Bonjour Gérard,

C'est bien cela que j'appelle formule de Poincaré. Le nom n'est pas forcément très heureux, mais ça sera plus simple pour s'y référer avec les élèves.

Cordialement,

Gilles old · October 2009

Pardon de revenir sur ma question initiale, mais après une nouvelle réflexion, je n'arrive pas à me dire pourquoi la modélisation avec l'univers {S1 libre, S1 occupée, S2 libre, S2 occupée} est incorrecte. Est-ce simplement parce qu'elle ne modélise pas le problème implicite :qui est je crois "le chirurgien veut savoir s'il peut opérer, et il se fout de savoir si c'est en S1 ou S2".

Merci d'avance

gerard0 · October 2009

Bonsoir Gilles.

Avec l'énoncé que tu as, c'est tentant. Mais le sens de l'énoncé est qu'il y a deux salles, et qu'on s'intéresse à ce qui se passe dans les deux salles. Donc tes événements ne sont pas élémentaires. Dit autrement, "S1 occupée" et "S2 occupées" ne sont pas des événements incompatibles, donc ne peuvent être élémentaires (les événements élémentaires sont toujours incompatibles, un seul peut se produire).
C'est toute la difficulté de définition de l'univers des possibles, qui est parfois délicat à définir (Celui du jeu de Pile ou face sans limitation de durée par exemple) et c'est pourquoi un énoncé doit être très précis, très clair. Celui-ci ne l'est pas vraiment.
C'est aussi pourquoi dans de nombreuses applications on passe à côté, en utilisant des modélisations par des variables aléatoires ou des probas conditionnelles, qui évitent de détailler l'ensemble probabilisé.

Cordialement