mesures et loi marginale
Bonjour,
Notons
\[D_2=\mathbb{R}^2 \quad ; \quad D_3 =\mathbb{R} \times D_2 \]
et on muni ces ensembles des boréliens.
Considérons deux mesures de probabilités $\mu_2$ (sur $D_2$) et $\mu_3$ (sur $D_3$) dont on ne sait pas si elles admettent des densités.
On suppose que l'égalité suivante est vérifiée
\[
\forall \phi(y,z) \in \mathcal{C}_b^0(D_2) \quad ; \quad \int_{D_2} \phi(y,z) d \mu_2(z,y) = \int_{D_3} \phi(y,z) d \mu_3(x,y,z)
\]
Est ce que je peux dire que $\mu_2$ est la marginale de $\mu_3$ sur $D_2$?
merci,
kek
Notons
\[D_2=\mathbb{R}^2 \quad ; \quad D_3 =\mathbb{R} \times D_2 \]
et on muni ces ensembles des boréliens.
Considérons deux mesures de probabilités $\mu_2$ (sur $D_2$) et $\mu_3$ (sur $D_3$) dont on ne sait pas si elles admettent des densités.
On suppose que l'égalité suivante est vérifiée
\[
\forall \phi(y,z) \in \mathcal{C}_b^0(D_2) \quad ; \quad \int_{D_2} \phi(y,z) d \mu_2(z,y) = \int_{D_3} \phi(y,z) d \mu_3(x,y,z)
\]
Est ce que je peux dire que $\mu_2$ est la marginale de $\mu_3$ sur $D_2$?
merci,
kek
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Réponses
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En effet, je dispose d'un processus $(x_t,y_t,z_t)$ dont la loi n'admet pas nécessairement de densité. Alors il faut manipuler les mesures. Aussi, je souhaiterais identifier la loi marginale de $(y_t,z_t)$.
Lorsque l'on a des densités, si $p(t,x,y,z)$ est la densité de $(x_t,y_t,z_t)$ alors la loi marginale de $(y_t,z_t)$ doit etre
\[
p(t,y,z) = \int p(t,x,y,z) dx
\]
sauf erreur, on devrait etre d'accord...Par contre dans le cas mesure, j'avais un $\epsilon-$doute. merci
J'ai une autre question au sujet de ce processus. Je ne sais pas si ce processus est ergodique par contre je sais qu'il admet des mesures invariantes. Je sais d'autre part que
\[
\mathcal{L}(x_t,y_t,z_t) = \mathcal{L}(-x_t,-y_t,-z_t)
\]
Est ce que nécessairement, toute mesure invariante est symétrique?
Par exemple, pour le brownien qui n'est pas ergodique, la mesure de Lebesgue est invariante et bien symétrique.
Sinon pour retourner un peu le "schmilblick", peut on trouver des processus symétriques non ergodiques admettant des mesures invariantes non symétrique?
merci,
kek
En effet, si je prend une mesure invariante $\mu$ comme loi initiale alors
\[
\mathcal{L}(x_t,y_t,z_t) = \mu \quad ; \quad \forall t \geq 0
\]
Prenons un fonction $\phi$ quelconque, on a
\[
\int \phi(x,y,z) p(t,x,y,z) dxdydz = \int \phi(x,y,z) d \mu(x,y,z)
\]
or
Le processus est symétrique.
\[
\int \phi(x,y,z) p(t,x,y,z) dxdydz = \int \phi(-x,-y,-z) p(t,x,y,z) dxdydz
\]
et donc
\[
\int \phi(x,y,z) d \mu(x,y,z) = \int \phi(-x,-y,-z) d \mu(x,y,z)
\]
Donc $\mu$ est symétrique.
Est ce que ça marche?
merci,
kek
Je ne comprends pas ce que tu appelles "processus symétrique" dans un contexte ou tu sembles pouvoir choisir la loi initiale. Est-ce que tu pourrais m'éclairer ?
En fait, je dis symétrique mais en fait je veux dire $(x_t,y_t,z_t) \underbrace{=}_{\mbox{ en loi }} (-x_t,-y_t,-z_t)$.
Par exemple pour le brownien, si tu le fais partir de $x \neq 0$, sa loi n'est pas symétrique.
\[
d x_t = b(x_t) d t + dw_t
\]
\(w_t\) est un mouvement brownien, avec \(b(-x)=-b(x) \).
Je regarde \( \tilde{x}_t=-x_t \) alors \( d \tilde{x}_t = b(\tilde{x}_t) d t - dw_t \)
La loi de $w_t$ est la même que $\tilde{w}_t = - w_t$ et \( d \tilde{x}_t = b(\tilde{x}_t) d t + d\tilde{w}_t \)
On sait que l'eds admet une unique solution (à préciser) alors \( x_t = \tilde{x}_t \) en loi.
Ainsi, pour toute fonction $\phi(x)$, on a
\[
\mathbb{E}_{\nu}[\phi(x_t)] = \mathbb{E}_{\nu}[\phi(-x_t)] \quad ; \quad \forall \nu \mbox{ loi initiale }
\]
J'espère que ça tient la route ce que je dis ?
Merci,
kek
bon ben je me suis enflammé pour rien...pff
merci
kek