mesures et loi marginale

kek · December 2009

Bonjour,

Notons
\[D_2=\mathbb{R}^2 \quad ; \quad D_3 =\mathbb{R} \times D_2 \]
et on muni ces ensembles des boréliens.

Considérons deux mesures de probabilités $\mu_2$ (sur $D_2$) et $\mu_3$ (sur $D_3$) dont on ne sait pas si elles admettent des densités.
On suppose que l'égalité suivante est vérifiée
\[
\forall \phi(y,z) \in \mathcal{C}_b^0(D_2) \quad ; \quad \int_{D_2} \phi(y,z) d \mu_2(z,y) = \int_{D_3} \phi(y,z) d \mu_3(x,y,z)
\]

Est ce que je peux dire que $\mu_2$ est la marginale de $\mu_3$ sur $D_2$?

merci,
kek

TheBridge · December 2009

Salut kek a priori je dirais oui, mais avant de répondre en détail pourrais-tu définir pour toi ce qu'est une marginale ?

a+

kek · December 2009

Salut TheBridge,

En effet, je dispose d'un processus $(x_t,y_t,z_t)$ dont la loi n'admet pas nécessairement de densité. Alors il faut manipuler les mesures. Aussi, je souhaiterais identifier la loi marginale de $(y_t,z_t)$.
Lorsque l'on a des densités, si $p(t,x,y,z)$ est la densité de $(x_t,y_t,z_t)$ alors la loi marginale de $(y_t,z_t)$ doit etre
\[
p(t,y,z) = \int p(t,x,y,z) dx
\]
sauf erreur, on devrait etre d'accord...Par contre dans le cas mesure, j'avais un $\epsilon-$doute. merci
J'ai une autre question au sujet de ce processus. Je ne sais pas si ce processus est ergodique par contre je sais qu'il admet des mesures invariantes. Je sais d'autre part que
\[
\mathcal{L}(x_t,y_t,z_t) = \mathcal{L}(-x_t,-y_t,-z_t)
\]
Est ce que nécessairement, toute mesure invariante est symétrique?
Par exemple, pour le brownien qui n'est pas ergodique, la mesure de Lebesgue est invariante et bien symétrique.
Sinon pour retourner un peu le "schmilblick", peut on trouver des processus symétriques non ergodiques admettant des mesures invariantes non symétrique?
merci,
kek

kek · December 2009

J'ai de très forte présomption au sujet de la symétrie de toute mesure invariante:
En effet, si je prend une mesure invariante $\mu$ comme loi initiale alors
\[
\mathcal{L}(x_t,y_t,z_t) = \mu \quad ; \quad \forall t \geq 0
\]
Prenons un fonction $\phi$ quelconque, on a
\[
\int \phi(x,y,z) p(t,x,y,z) dxdydz = \int \phi(x,y,z) d \mu(x,y,z)
\]
or
Le processus est symétrique.
\[
\int \phi(x,y,z) p(t,x,y,z) dxdydz = \int \phi(-x,-y,-z) p(t,x,y,z) dxdydz
\]
et donc
\[
\int \phi(x,y,z) d \mu(x,y,z) = \int \phi(-x,-y,-z) d \mu(x,y,z)
\]
Donc $\mu$ est symétrique.
Est ce que ça marche?
merci,
kek

egoroffski · December 2009

Salut,

Je ne comprends pas ce que tu appelles "processus symétrique" dans un contexte ou tu sembles pouvoir choisir la loi initiale. Est-ce que tu pourrais m'éclairer ?

kek · December 2009

oui, pardon.
En fait, je dis symétrique mais en fait je veux dire $(x_t,y_t,z_t) \underbrace{=}_{\mbox{ en loi }} (-x_t,-y_t,-z_t)$.

egoroffski · December 2009

Hmm oui mais dans ce cas la loi de $(x,y,z)$ est une donnée non ? Est-ce que tu peux préciser un peu le cadre ? S'il s'agit d'un processus de Markov, il n'y a pas de loi a priori, heureusement car sinon tu ne saurais pas très bien quoi faire de ta mesure invariante. La seule chose qui soit définie ce sont les lois de transition.

Par exemple pour le brownien, si tu le fais partir de $x \neq 0$, sa loi n'est pas symétrique.

kek · December 2009

Considérons une eds de la forme
\[
d x_t = b(x_t) d t + dw_t
\]
$w_t$ est un mouvement brownien, avec $b(-x)=-b(x) $.
Je regarde $ \tilde{x}_t=-x_t $ alors $ d \tilde{x}_t = b(\tilde{x}_t) d t - dw_t $
La loi de $w_t$ est la même que $\tilde{w}_t = - w_t$ et $ d \tilde{x}_t = b(\tilde{x}_t) d t + d\tilde{w}_t $
On sait que l'eds admet une unique solution (à préciser) alors $ x_t = \tilde{x}_t $ en loi.
Ainsi, pour toute fonction $\phi(x)$, on a
\[
\mathbb{E}_{\nu}[\phi(x_t)] = \mathbb{E}_{\nu}[\phi(-x_t)] \quad ; \quad \forall \nu \mbox{ loi initiale }
\]
J'espère que ça tient la route ce que je dis ?
Merci,
kek

egoroffski · December 2009

OK c'est déjà plus clair ! Je pense que le bât blesse au moment où tu invoques l'unicité en loi, tu supposes implicitement que les lois initiales sont les mêmes, et donc que $x_0$ a une loi symétrique. Du coup, comme les fonctions de transition sont symétriques elles aussi, ton processus a une loi symétrique à tout instant. (et même une loi symétrique en tant que processus). Mais ça n'exclut pas a priori l'existence de mesures invariantes asymétriques.

kek · December 2009

oui tu as raison, je suppose implicitement que ma loi initiale est symétrique...8-)
bon ben je me suis enflammé pour rien...pff
merci
kek

mesures et loi marginale

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