somme de vecteurs unitaires

Tu cherches vraiment une égalité?

Sinon je vois deux pistes :

1) Théorème central limite local (parce que c'est une marche aléatoire).

2) Concentration de la mesure, à la Talagrand.

Bonjour Alekk.

Le problème se retranscrit-il ainsi :
Soit $(X_k)_k)$ une suite de variables aléatoire réelle indépendantes de même loi uniforme sur [0;1]. Prouver que $P(|\sum_{k=1}^n {e^{2 i \pi X_k}}| < 1) = \frac 1 {n+1}$ ?

J'ai un doute sur le résultat, car pour n = 1 il est manifestement faux. C'est peut-être seulement pour n > 1 (Intuitivement, je trouve bien $\frac 1 3 $ pour n = 2).

Cordialement.

Salut à tous,

En utilisant l'invariance par rotation des lois considérées, on voit que sauf erreur la suite des $r_n=||v_1+\cdots+v_n||^2$ est une chaîne de Markov, dont peut écrire une équation d'évolution sous la forme $r_{n+1}=(1+2 \alpha_{n+1})r_n+1$ où $\alpha_n$ est une suite i.i.d. égale en loi à l'abscisse de $v_n$.. ça permet peut-être de calculer par récurrence la fonction de répartition de $r_n$ (ou sa fonction caractéristique). Corrigez-moi si je dis des bêtises.

Erreur de calcul : c'est $r_{n+1}=1+r_n+2 \sqrt{r_n} \alpha_{n+1}$ bien sûr. Du coup la loi de $r_{n+1}$ conditionnellement à $r_n=s$ est une loi de type Arcsinus, portée par l'intervalle $\left[ \, (\sqrt{s}-1)^2 \, ; \, (\sqrt{s}+1)^2 \, \right]$.

Bon mais ça ne mène pas très loin cette histoire.

J'ai une idée un peu dingo, inspirée d'un article de Kenyon & Winckler et qui s'appelle "Branched Polymers".

Il s'agit de regarder ce qui se passe quand les longueurs des vecteurs sont respectivements $\epsilon^n,\epsilon^{n-1},\dots,\epsilon$. On pose $P_\epsilon$ la proba que pour ces longueurs on tombe dans la boule de centre $0$ et de rayon $\epsilon$. On est d'accord que l'on cherche $P_1$.

Je pense que l'on peut calculer la dérivée de cette fonction, et intégrer.

Je ne vois toujours pas non plus. Mon intuition est également qu'il faut introduire une nouvelle variable de manière à trouver un vecteur $(W_0,\dots W_n)$ échangeable (iid par exemple) et une fonction $\phi$ telle que la proba cherchée puisse se réécrire $P(\forall i\in\{1,\dots,n\} \phi(W_0)<\phi(W_i))$, mais je ne vois pas bien comment la mettre en oeuvre.

Bonjour,

Voici une figure pour illustrer le rang 3
A ce rang, après un choix aléatoire des deux permiers vecteurs, le retour dans la zone favorable reste (quasi) toujours possible.

Numériquement, j'obtiens pour ma part des résultats compatibles avec alekk

function r=simule(n,N)
  angle=rand(n,N,'u')*2*%pi
  lecos=cos(angle)
  lesin=sin(angle)
  r=sum((sum(lecos,'r').^2+sum(lesin,'r').^2)<=1)/N
endfunction

-->simule(4,100000)
 ans  =
 
    0.2003  

J'attends avec impatience la solution !
(sans vouloir te mettre la pression Lucas )

Amicalement,

Il me semble qu'avec les données de Jacquot on obtient comme intervalle de confiance à $95\%$ pour la probabilité $p$ : $[0,189 \, ; \, 0.205]$ ce qui ne permet pas de rejeter l'hypothèse $p=0,2$

Sinon Lucas ta solution est effectivement alléchante, tu ne voudrais pas donner un petit hint pour que les motivés continuent à chercher ?

Ca s'appelle du marketing...

La solution est de N.Enriquez (c'est mon chef) :

Je note $X_i$ les pas, $S_n=\sum X_i$. On fait du Fourier : (j'utilise $\cdot$ pour le produit scalaire)
\begin{align*}
\mathbb{E}[e^{i\lamba S_n}]
&= \mathbb{E}[e^{i\lamba \cdot X_1}]^n\\
&=\left( \tfrac{1}{2\pi}\int_{[0,2\pi]} \exp(i\lambda_1 \cos\theta +i\lambda_2\sin\theta)d\theta \right)^n\\
&= \left( \tfrac{1}{2\pi}\int_{[0,2\pi]} \exp(i|\lambda| \cos\theta )d\theta \right)^n\\
&=: \phi(|\lambda|)^n,
\end{align*}
où $\phi(r)=\tfrac{1}{2\pi}\int\cos(r\cos\theta)d\theta$ (qui est la représentation de la fonction de Bessel $J_0$ sous forme intégrale).

On inverse Fourier pour avoir la densité : calculons
\begin{align*}
\Psi(\mu)
:&=\tfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \exp(i\mu\cdot x)\phi(x)^n dx \\
&= \tfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}_+\times[0,2\pi)} \exp(i\mu_1r\cos\theta +i\mu_2 r\sin\theta)\phi(r)^n rdrd\theta/2\pi \\
&= \tfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}_+} \phi(r)^n \phi(|\mu|r) rdr
\end{align*}
Bon, maintenant il faut avoir le résultat en vue :
\begin{align*}
\mathbb{P}(S_n\in B(0,1))
&= \int_0^1 \int_0^\infty \phi(\mu r)\phi^n(r) r\mu drd\mu\\
&= \int_0^\infty \phi^n(r) \left\{ \int_0^1 \phi(\mu r)\mu rd\mu \right\} dr,
\end{align*}
par Fubini (avec justification et il y a un piège). Maintenant il faut avoir vécu au XIXè pour se rappeler que ce qui entre accolades peut s'écrire
$$
1/r \int_0^r \phi(t) tdt =-\phi'(r),
$$
ça vient de la définition de $J_0$ par une équa diff : $r^2\phi'' +r\phi'+r^2\phi=0$, i.e.
$$
(r\phi')'=-r\phi.
$$
Finalement (ouf!)
$$
\mathbb{P}(S_n\in B(0,1))=-\int \phi^n \phi'=\left[-\frac{\phi}{n+1}\right]_0^\infty =1/(n+1).
$$

Vous avez suivi (ça m'a épuisé moi) ?
Bon courage,
Lucas (scribe).

J'ai pas tout pigé, mais ça donne envie d'aller vivre au XIXème siècle.

a+

Very impressive ! Bravo à toi et à ton chef, et merci d'avoir pris la peine de taper tout ça. Après ton teasing sur Fourier j'avais essayé de calculer la TF de $X_1$ mais j'en étais resté à l'invariance par rotation sans reconnaître une fonction de Bessel (n'ayant pas vécu au XIXème siècle). Je t'avoue qu'il a deux ou trois passages ou j'ai décroché ce qui m'a empêché de repérer le "point magique" mais je relirai ça tranquillement ce soir au coin du feu.

Pour le Fubini, il me semble si j'en crois Wikipedia qu'on a une majoration de la forme $|\varphi(r)| \leq A1_{[0,C]}(r)+\frac{B}{\sqrt{r}}1_{]C,+\infty[}(r)$ pour $A,B,C>0$, ce qui permet de majorer l'intégrale intérieure $$\int_0^\infty |\phi(\mu r)\phi^n(r)| r dr$$ en la découpant selon les trois intervalles $[0,C]$, $[C,C/\mu]$ et $[C/\mu,+\infty[$. On obtient au final une majoration en $D+E \mu^{n/2-2}$, qui multipliée par $\mu$ donne juste ce qu'il faut pour avoir l'intégrabilité en $0$ (grâce à $n>0$).

Messieurs,
Je n'ai rien compris de cette résolution, mais ne vous en inquiétez pas. Le résultat à lui tout seul est déjà étonnant.
Je suis très honoré d'avoir pu prendre part à cette discussion.:)

Merci pour les références.

Et au fait, quelqu'un sait si en dimension supérieure la formule est aussi jolie?

En dimension 1, on est d'accord, pas de simplification possible. C'est bien pour ça que la formule me paraissait magique en dimension 2!

En dimension 3 $n=2$, hé hé B-)-. J'avais même pas pensé à essayer. Ca rend optimiste ce 1/4... Bon, pour $n=3$ ça va pas être jojo mais ça se fait (j'ai la flemme très honnêtement).

Maintenant un peu de calcul:
$OM^2=x^2+1-(1-x)^2=2x$ donc $OM= \sqrt {2x}$
Alors la hauteur de la calotte jaune est $h=1-\dfrac {\sqrt{2x}}{2}$
Donc l'aire de cette calotte est: $2\pi * 1^2*h=\pi (2-\sqrt{2x})$
Si après deux pas, le mobile se trouve en M, la proba pour qu'au 3ème pas il finisse son parcours dans la boule $B_0$ est $\dfrac {\pi (2-\sqrt{2x})}{4\pi}=\dfrac{2-\sqrt{2x}}{4}$
Maintenant, je calcule la moyenne de cette proba pondérée par les aires des tranches bleues :
$$P=\dfrac {1}{4\pi}\int_0^2 \dfrac{2-\sqrt{2x}}{4} 2\pi dx = \dfrac {1}{4}\int_0^2 (1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sqrt x ) dx $$
$$P=\frac{1}{4} \left[x-\frac{\sqrt{2}}{3}x\sqrt x \right]_0^2 = \frac {1}{4}( 2-\frac{4}{3})$$

Et, finalement: $P=\dfrac{1}{6}$

Lucas ou quelqu'un voudrait-il reprendre ces calculs, ou peut-être faire une simulation pour vérifier?

Le résultat est simple et me paraît plausible.
Pour n=4, je serai bien incapable de faire le calcul...

C'est du a Archimede, comme en 1955 et c'etait demontre dans mon livre de 1ere. Archimede etait si fier de la decouverte qu'il a fait dessiner un cylindre circonscrit a une sphere sur sa tombe, ce qui a permit a Ciceron de localiser celle ci 130 ans plus tard. Amicalement.

(tu)Merci egoroffski,

Pour n=4, je ne pense pas être capable de mener à bien les calculs: je n'ai déjà pas su le faire pour des déplacements dans le plan, du fait qu'il faut tenir compte de la densité de proba qui n'est pas uniforme après 3 déplacements.

Pas sûr, cependant que le problème dans l'espace soit plus difficile que dans le plan:
pour n=3, le calcul intégral dans l'espace s'est avéré plus simple que dans le plan grâce à la propriété d'Archimède citée plus haut.

Ah, si ta simulation avait donné une proba de 0,125 au lieu de 0,12 c'eût été plus encourageant!;)

Je pense que Lucas voudrait savoir s'il existe, dans l'espace, un traitement général puissant du type de celui qui a été présenté dans le plan [size=x-small](et que je ne suis pas près de comprendre!)[/size]

Sinon tu peux prendre un taxi jusqu'à Lisbonne et décoller de là.

Tiens tiens... qui se cache derrière ce Grotte de Nez (très joli prénom), il y a peu de gens qui savent que je m'intéresse à Gacs...

Pour répondre à la question, j'y allais pour le loisir, mais là c'est définitivement tombé à l'eau je crois, ou dans la cendre plutôt.

Je voudrais savoir aussi comment mémoriser et/ou imprimer

les 47 messages de ce fil ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour.
Si $X_1,\ldots, X_n$ sont iid et r\'epartis uniform\'ement sur la sph\`ere unit\'e de $\mathbb{R}^3$ alors -comme d\'ej\`a dit il y a deux mois ici- alors pour $n\geq2$ le nombre $p_n=\Pr(\|X_1+\cdots+X_n\|<1)$ est donn\'e dans Watson '\textit{A Treatise on the Theory of Bessel Functions}' section 13.48. En particularisant la page 421 on obtient
$p_n=\frac{1}{\pi}(I_{n+1}-J_n)$ avec
$$I_n=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^ndt,\ J_n=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^n\cos t \, dt$$
(Dans Watson il faut aller chercher les expressions des fonctions de Bessel $J_{1/2}$ et $J_{3/2}$ page 54). Posons $f_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^ne^{-ixt}dt:$
c'est la densit\'e de $Y_1+\cdots+Y_n$ lorsque les $Y_j$ sont iid et uniformes sur $[-1,1]$ (en effet la transform\'ee de Fourier de $X_j$ est $\frac{\sin t}{t}$ et pour $n\geq 2$ la formule d'inversion est applicable). En particulier $f_n$ est continue. Donc finalement $p_n=2f_{n+1}(0)-f_n(-1)-f_n(1)=2(f_{n+1}(0)-f_n(1))$ puisque $f_n$ est paire.
Il se trouve que $f_n$ est bien connue (voir A. Renyi, \textit{Probability Theory} page 192): pour $|x|<n$ on a si $[y]$ signifie partie enti\`ere de $y>0:$
$$f_n(x)=\frac{1}{(n-1)!2^n}\sum_{k=0}^{[(n+x)/2]}(-1)^kC^k_n(x+n-2k)^{n-1}$$
Donc $$p_n=\frac{1}{n!2^n}\sum_{k=0}^{[(n+1)/2]}(-1)^{k+1}C^k_{n+1}(n-1+\frac{2k}{n+1})(n+1-2k)^{n-1}.$$
avec par exemple $p_2=1/4,p_3=1/6, p_4=23/192=0,11971666....$ ce qui confirme tous les calculs num\'eriques du fil. La th\'eorie pr\'evoit $\sum p_n<\infty$ mais peut on avoir une \'evaluation asymptotique de $p_n?$ Probablement $\ell=\lim n^{3/2}p_n$ existe et est finie, mais quel est $\ell?$