Loi de t avec P(X<t) =a

Bonjour Gérard,

Si l'on est sûr que X suit bien une loi normale, l'estimation de la fonction de répartition est simple: c'est la fonction de répartition d'une loi normale dont la moyenne et la variance sont égales à la moyenne et à la variance empiriques.
Si l'on ne sait pas si X suit une loi normale, on peut commencer par faire un test d'adéquation à partir des Xi, ce test fera intervenir de toute façon les moments empiriques. Si le test rejette l'hypothèse, les estimateurs non paramétriques de la fonction de répartition ne feront plus intervenir les moments empiriques.
En espérant avoir répondu plus ou moins à la question ...

Amicalement,

Bonjour Gérard,

Je relis ton message avec attention et j'essaie de voir ce que j'en tire.

Amicalement,

Bonjour Gérard,

Si je comprends bien, tu cherches un intervalle de confiance pour un quantile.
Je note $F$ la fonction de répartition théorique des observations, $F_n$ la fonction de répartition empirique classique calculée sur les observations, $\xi_p$ le quantile tel que $F(\xi_p)=p$ ($p$ joue le rôle de ton $\alpha$ et $\xi_p$ le rôle de ton $t$) que l'on souhaite estimer et $\hat{\xi}_p$ le quantile empirique calculé sur les observations, i.e. tel que $F_n(\hat{\xi}_p)=p$.
Alors, sous des conditions souvent vérifiées en pratique (je pourrai les lister si tu le souhaites), on a
\[ \sqrt{n}\left(\hat{\xi}_p-\xi_p\right)\rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{p(1-p)}{(F'(\xi_p))^2}\right)\]
en loi. On peut donc construire un intervalle de confiance asymptotique.
En revanche, je n'ai pas sous la main un résultat où $F_n$ n'est plus la fonction de répartition empirique mais la fonction de répartition de la loi normale avec les moments estimés sur l'échantillon. Je doute que celà change grand chose au résultat final, cependant.

Amicalement,

Avec la nouvelle formulation du problème, il me semble qu'il s'agit de regarder la loi de $T=F^{-1}(\alpha \, ; \, \overline{X}, s^2)$ où $F^{-1}(\cdot \, ; \, \mu,\sigma^2)$ est la fonction de répartition inverse de la loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\overline{X}, s^2$ les moments empiriques. Comme l'a dit Kuja ce n'est pas exactement la même chose que de regarder la fonction de répartition empirique. On peut réécrire $T=\overline{X}+s^2 q_{\alpha}$ où $q_{\alpha}=F^{-1}(\alpha \, ; \, 0,1)$ est le quantile pour la loi normale standard, donc à partir d'intervalles de confiance unilatéraux sur $\overline{X}$ et $s^2$ on en déduit un sur $T$ (on peut faire un peu mieux avec Cochran me semble-t-il mais bon).

OK, merci pour le lien, je vais aller regarder le fil. Il me semble que si on dispose d'intervalle de confiance au niveau $\alpha/2$ pour $U$ et $V$, alors la somme des deux intervalles est est un intervalle de confiance au niveau $\alpha$ pour $U+V$, indépendance ou non ? Je me fourvoie peut-être... Dans le cas où il y a indépendance et lorsque les intervalles de confiance sont déduits d'un écart-type on doit pouvoir faire un peu mieux

[PS : en plus il y a une erreur dans mon message ci-dessus, il faut lire $T=\overline{X}+\sqrt{s^2} q_{\alpha}$]