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Démonstration de Bayes pour l'espérance

Envoyé par mésons 
Démonstration de Bayes pour l'espérance
il y a quatre années
Bonjour,

Je cherche à démontrer la formule de Bayes :
$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{F}_t]=\frac{\mathbb{E}[X L_T|\mathcal{F}_t]}{L_t}$$
En supposant que$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=L_t$

Quelqu'un peut il me venir en aide ?
Merci d'avance
Re: Démonstration de Bayes pour l'espérance
il y a quatre années
Avis perso: devant chaque problème d'espérance conditionnelle calculatoire comme celui ci-dessus, je recommande chaudement d'utiliser la définition: l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $\mathcal F_t$ **pour la probabilité $\mathbb Q$ **, est la SEULE (à égalité p.s. près) variable aléatoire $Z$, $\mathcal F_t$-mesurable, $L^1$ (ou positive), qui vérifie , pour tout ensemble $\mathcal F_t$-mesurable $A$, l'égalité $ \mathbb E^{\mathbb Q}(Z1_A)=\mathbb E^{\mathbb Q}(X1_A)$.

Alors vérifie qu'on peut remplacer $Z$ par $\frac{\mathbb{E}[X L_T|\mathcal{F}_t]}{L_t}$ dans cette dernière égalité (attention à ce que $\mathbb E^{\mathbb Q}(Y) =\mathbb E(L_t Y)$ pour tout $Y$ $\mathcal F_t$-mesurable).
Re: Démonstration de Bayes pour l'espérance
il y a quatre années
Deuxième avis perso : pour ne pas se trimballer le quotient dans l'espérance, on peut réécrire l'égalité à démontrer sous la forme $L_t \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{F}_t]=\mathbb{E}[X L_T|\mathcal{F}_t]}$. On applique alors le conseil de Foys à la v.a. de gauche (deux fois en fait).
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