Espérance conditionnelle et indépendance

victor1 · February 2010

Bonjour !

J'ai une question qui me taraude un peu... Je considère un processus de Lévy $(X_t)_{t\in R}$ (la propriété qui m'importe ici est l'indépendance et la stationnarité des accroissements).
Enfin, je considère le semi groupe :
$P_t(f)(x)=E[f(x+X_t)]$
pour toute fonction $f$ mesurable positive et tout élément $x$ de l'ensemble image du processus de Lévy ($R$ ou $R^d$).

Je n'arrive pas à montrer que $E[f(X_{t+s})/F_t]=P_s(f)(X_t)$,

où $(F_t)_t$ est la filtration canoniquement associée à mon processus et le "/" signifiant "conditionnellement à".

Merci pour votre aide !

jb3 · February 2010

Tu écris $X_{t+s}=X_t+(X_{t+s}-X_t)$.

victor1 · February 2010

Oui, mais c'est la suite qui me pose problème..

jb3 · February 2010

Tu utilises le résultat suivant. Si $X$ et $Y$ sont deux v.a. indépendantes et si $f:\R^2\to\R$ est mesurable positive alors :
$$
E(f(X,Y)|Y)=r(Y)
$$
où $r:\R\to\R$ est définie par
$$
r(y)=E(f(X,y)).
$$

egoroffski · February 2010

Il faut utiliser le théorème le plus important de la théorie des probabilités : si $X,Y$ sont indépendantes, et si on note $G(x)=\mathbb{E}(g(x,Y))$ pour $g$ fonction mesurable, alors $\mathbb{E}(g(X,Y)|X)=G(X)$ p.s.

victor1 · February 2010

Ah, merci beaucoup ! C'est exactement ce qui me manquait.
Ce théorème a t'il un nom ? Savez vous où je peux en trouver une preuve ?
Merci !

jb3 · February 2010

C'est (une application immédiate de) le théorème de Fubini. Tu vérifies que $r(Y)$ vérifie la définition de l'espérance conditionnelle. Tu prends par exemple $g$ mesurables positives et tu regardes $E(r(Y)g(Y))$ etc.

lagoalette · February 2010

Moi je l'appelle la formule magique.
C'est génial ce truc intuitif qui est en plus parfaitement juste.

Bogdanov98 · August 2018

Bonjour à tous,

Veuillez m'excuser par avance pour avoir fait remonter ce fil datant de 8 ans.
Cependant, j'ai plusieurs questions le concernant:

Le lemme (assez magique, voir message de JB) ci-dessus porte-t-il un nom?
Et est-ce qu'il est suffisant de supposer $X$ et $Y$ indépendantes, $f$ borélienne telle que $f(X,Y)$ soit intégrable?
Car ces hypothèses me semblent suffisante pour appliquer Fubini et la définition de l'espérance conditionnelle pour conclure la preuve. Mais j'ai peur d'omettre quelque chose car j'ai vu dans ce fil qu'on pouvait retirer $f(X,Y)$ intégrable dans le message de egoroffski.

Est-ce une erreur ou le résultat est vrai plus largement que d'après mes hypothèses?

Cordialement.

Bogdanov98 · August 2018

Petit up:

A priori, d'après diverses sources, le résultat reste vrai si on suppose seulement $f(X,Y)$ positive p.s à la place d'intégrable.
Cependant, je ne vois pas du tout pourquoi le résultat reste vrai, auriez-vous une indication ou une piste?

Merci par avance.

Bogdanov98 · August 2018

En fait, je pense que l'on peut supprimer l'hypothèse de $f(X,Y)$ intégrable au profit de $f(X,Y)$ positive p.s. car cela ne joue que dans l'application du lemme de transport dans la preuve.

J'aimerais juste que quelqu'un puisse me confirmer cela.

Cordialement et merci par avance.

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