loi de Pascal

guillou250
guillou250
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, quelqu'un pourrait-il m'indiquer les démonstrations donnant les valeurs de l'espérance de la loi de Pascal de paramètre 1/3 : somme des n*1/3*(2/3)^(n-1) et de somme des n^2*(1/3)*(2/3)^(n-1) ? Merci d'avance.
Guillou25

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Une recherche sur Internet m'a donné rapidement ça : Jolion
    Tu devrais facilement faire la preuve à partir de cette idée.

    Cordialement.
  • guillou250
    guillou250
    Bonjour Gérard, je connais bien la définition de la loi mais les manipulations sur les séries ne me paraissent pas si évidentes. Merci pour ton aide
  • gerard0
    gerard0
    Tu n'as pas lu ça :
    Jolion a écrit:
    Loi de Pascal d'ordre n : C'est la loi du nombre d'essais nécessaires pour observer exactement $n$ fois un évènement de probabilité $p$. Cette loi est la somme de $n$ lois géométriques indépendantes
    L'idée de la preuve est dedans, sans "manipulations sur les séries", seulement avec les règles sur les moyennes de sommes et les variances de sommes de VA indépendantes.
    Le moins facile est la preuve de la dernière phrase.

    Cordialement.
  • Gérard Letac
    Gérard Letac
    Bonjour. Si $X$ est a valeurs dans $\mathbb{N}$ alors
    $$\mathbb{E}(X)=\sum_{n=0}^{\infty}\Pr(X>n)$$
    Comme ici $\Pr(X>n)$ est la somme d'une serie geometrique, c'est calculable et ca donne un truc en $Ap^n$ de nouveau. Donc
    $ \mathbb{E}(X)$ est aussi calculable. Pour le second moment il faut ecrire $n^2=n(n-1)+n.$
  • guillou250
    guillou250
    Merci pour vos réponses, j'y suis arrivé. Bonne soirée
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