Convergence en loi ssi ...

SXB
SXB
dans Probabilités, théorie de la mesure
Titre initial : Convergence en loi ssi convergence uniforme des fcts de répartition???
[Le titre doit être court. Tu as tout le corps du message pour poser ta question. AD]

Bonjour

Je suis au début du cours de stat de M1, niveau présentation de l'intervalle de confiance asymptotique.
On considère une suite de variables aléatoires (X_n) iid et sa moyenne de Cesàro (X_n_barre).

Soit 0 < alpha <1

On cherche un epsilon > 0 tq si l'on considère la suite des probas que l'espérance thêta commune à tous les X_n soit éloignée de X_n_barre d'au plus epsilon, eh bien la limite de ces probas soit supérieure à 1-alpha.

En conséquence du TCL, à un moment on arrive à un truc du genre :

racine(n).(X_n_barre-thêta)/racine(theta.(1-thêta)) converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

Ca ok.

Et juste après il y a marqué que c'est équivalent à ce que la suite de fonctions de répartitions associées à cette suite de variables là converge uniformément sur IR vers celle de la loi normale centrée réduite.

Peut-on m'expliquer ?
Merci d'avance.

[Ernesto Cesàro (1859-1906) te remercie pour sa majuscule. AD]

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Il y a deux ingrédients :

    1) Si $(F_n),F$ sont les fonctions de répartitions respectives de $(X_n),X$, alors $X_n \to X$ en loi si et seulement si $F_n(x) \to F(x)$ en tout point $x \in C(F)$, où $C(F)$ est l'ensemble des points de continuité de $F$.

    2) Un corollaire d'un théorème de Dini te dit que si une suite $F_n$ de fonctions de répartition converge simplement vers une fonction de répartition continue $F$, alors la convergence est en fait uniforme.
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