Un résultat utile (si j'ai bien suivi). Je me place sur un espace de probabilité $(\Omega,{\cal F},P)$. Je prend $f$ une variable aléatoire intégrable (ici elle sera positive et d'intégrale $1$, ce sera la densité de $Q$ par rapport à $P$). Alors :
$$
\sup_{A : P(A) \le \epsilon} \int_A f dP \to 0
$$
quand $\epsilon$ tend vers $0$. Pour le montrer tu remarques que, pour tout $M>0$, on a :
$$
\int_A f dP \le MP(A) + \int f1_{f>M}.
$$
Si tu veux aller plus loin dans ces histoires, tu peux regarder du côté de l'uniforme intégrabilité.