Convergence en probabilités

Bonjour, j'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre. Soit $(\Omega ,F)$ un espace mesurable et P et Q deux probabilités sur $(\Omega ,F)$ qui sont équivalentes . Soit $(X_i)$,une suite de variables aléatoires sur $(\Omega ,F)$. Je voudrais montrer que $X_i\to X$ (où X est une v.a. sur le même espace) en probabilité pour P si et seulement si $X_i\to X$ en probabilité sous Q. Le problème est que je n'y arrive pas. D'où ma question: ce résultat est il faut ? Et sinon auriez vous une piste ? Je vous remercie d'avance.

Un résultat utile (si j'ai bien suivi). Je me place sur un espace de probabilité $(\Omega,{\cal F},P)$. Je prend $f$ une variable aléatoire intégrable (ici elle sera positive et d'intégrale $1$, ce sera la densité de $Q$ par rapport à $P$). Alors :
$$
\sup_{A : P(A) \le \epsilon} \int_A f dP \to 0
$$
quand $\epsilon$ tend vers $0$. Pour le montrer tu remarques que, pour tout $M>0$, on a :
$$
\int_A f dP \le MP(A) + \int f1_{f>M}.
$$
Si tu veux aller plus loin dans ces histoires, tu peux regarder du côté de l'uniforme intégrabilité.

Si tu me donnes les définitions de "converge en proba" et de "probabilités équivalentes" je pourrai peut-être essayer?

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Bonjour,

Peut être peux tu utiliser le fait que : une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$ si et seulement si de toute suite croissante d'entier $(n')$ on peut extraire une sous-suite $(n'_k)$ telle que la convergence soit presque sûre.

Cordialement,
bd.

Un poil plus élémentaire encore.

Je prend $P$ et $Q$ deux mesures de probabilités. Je suppose $Q \ll P$ (au sens : $P(A)=0$ entraine $Q(A)=0$). Alors : pour tout $\epsilon>0$ il existe $\delta>0$ tel que $P(A)\le \delta$ entraine $Q(A)\le \epsilon$.

On le prouve par contraposition. Si la conclusion est niée, alors je peux trouver $\epsilon>0$ et une suite d'évènement $A_n$ tels que : $P(A_n) \le 2^{-n}$ et $Q(A_n) \ge \epsilon$. On considère alors $A=\limsup A_n$. On a $P(A)=0$ mais $Q(A) \ge \epsilon$ et donc $Q(A)$ non nul.

Soit $f=dQ/dP$ et $A_n=\{|X_n-X|\geq \epsilon\}.$ Alors par Schwarz $$Q(A_n)=\int f 1_{A_n}dP\leq (\int f ^2dP\int 1^2_{A_n}dP)^{1/2}=(\int f ^2dP)^{1/2}\sqrt{P(A_n)}\rightarrow_{n\rightarrow \infty} 0.$$

Et une preuve de plus dans le cas $L^2$. On peut jouer à l'adapter au cas $L^p$, $p>1$ si on veut.

De mon point de vue, la preuve de Gérard Letac est la plus naturelle. Comme $f$ est dans $L^1(P)$, la preuve de Gérard donne tout avec un argument de troncature.

Si on en vient à tronquer je préfère la première preuve que j'ai proposé. Mais sinon je préfère la deuxième. Comme quoi, les goûts en maths... :)

Merci \`a Aléa et Plop de leur indulgence pour ma distraction. Je reprends:
Soit $f=dQ/dP$ et $A_n=\{|X_n-X|\geq \epsilon\}.$ Pour $\eta>0$ soit $K_{\eta}>0$ tel que $P(f\geq K_{\eta})\leq \eta.$ Alors $$Q(A_n)=\int f 1_{A_n}dP\leq P(f\geq K_{\eta})+K_{\eta}P(A_n)\rightarrow_{n\rightarrow \infty} P(f\geq K_{\eta}).$$ Donc $\limsup Q(A_n)\leq \eta$ pour tout $\eta$ et donc $\lim Q(A_n)=0.$

Il me semble qu'il faut plutôt prendre $K_{\eta}$ tel que $\int f \mathbf 1_{f>K_{\eta}} dP \le \eta$.
C'est en tout cas la première preuve que j'ai proposée (enfin, esquissée, je ne sais pas si c'est très lisible du coup).

Tu as raison bien sur.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,599661,599661#msg-599661 :D

Ben oui, mais la preuve d'il y a 10 mois, elle me chiffonne un peu: pourquoi $f1_{A_n}$ tendrait ps vers $0$ ?
Par contre on peut montrer que de toute suite $Q(A_{n_k})$, on peut extraire une sous-suite qui tend vers $0$, car la convergence en proba entraîne la cv ps d'une sous-suite, et ça roule.

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