Espérance du minimum de deux va

mine67
mine67
dans Probabilités, théorie de la mesure
Titre initial : Espérence du minimum de deux variables aléatoires uniformes
[Tu as tout le corps du message pour préciser ta question. AD]

Bonjour,

J'essaie de calculer E[min(X1,X2)] avec X1 et X2 des variables aléatoires uniformes sur [0,1].
J'ai d'abord essayé de calculer la fonction de répartition en posant F(x) = P[min(X1,X2)<=x] = 1-P[min(X1,X2)>x] = 1-P[X1>x,X2>x]. Mais je ne m'en sors pas. Je sollicite votre aide.

Cordialement.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Il te manque sans doute une hypothèse d'indépendance.
  • mine67
    mine67
    Merci Aléa. Justement mon problème c'est que j'ai pas l'hypothèse d'indépendance ! Et j'ignore si je dois la supposer moi-même pour pouvoir faire le calcul. En faisant les calculs sans l'hypothèse d'indépendance je tourne sans cesse en rond
  • poly
    poly
    Slt,

    Dans ce cas là il faut que tu donne la loi jointe des variables. Pas d’échappatoire :)
  • Gérard Letac
    Gérard Letac
    N'oublions pas la formule magique pour une va $Y\geq 0$ qui est $\mathbb{E}(Y)=\int_{0}^{\infty}\Pr(Y>y)dy$. Appliquée \`a ta copule $(X_1,X_2)$ et \`a $Y=\min(X_1,X_2)$ elle fournit $\mathbb{E}(Y)=\int_0^1\Pr(X_1,X_2>x)dx.$ Comme on te donne s\^urement la fonction $F(x_1,x_2)=\Pr(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2)$ et que pour des va uniformes sur $(0,1) $ on a $$\Pr(X_1>x_1,X_2>x_2)=1+F(x_1,x_2)-x_1-x_2$$ pour $0<x_1,x_2<1,$ on a $\mathbb{E}(Y)=\int_0^1F(x,x)dx$ apr\`es un petit calcul.
  • mine67
    mine67
    Slt Poly,
    Si je dois passer par la loi jointe des deux, je ne vois pas comment faire si ce n'est utiliser une copule de survie pour P[X1>x,X2>x]

    [ P(X > x; Y > y) = Cα{SX(x), SY (y)}, où la copule C : [0, 1]2 → [0, 1] est une fonction continue, non décroissante en chacun de ses arguments telle que pour tout u ∈ [0, 1], Cα(0, u) = Cα(u, 0) = 0 et Cα(1, u) = Cαα(u, 1) = u et α un paramètre mesurant la dépendance entre X et Y . Typiquement, α = 0 donne la copule d’ind´ependance C0(u, v) = uv.

    Mais ça va me créer d'autres problème car je veux obtenir un résultat facile à évaluer numériquement.
    Je sais pas si aussi on peut utiliser la copule minimale (si oui, comment ?) pour P[min(X1,X2)<=x].
  • mine67
    mine67
    Salut Gerard,
    Merci beaucoup ! Mais je comprends pas tout dans ce que t'as écrit. Par exemple pourquoi il n'y a plus de "min" dans l'écriture de E[Y] ? Et Si j'ai pas aussi F(x1,x2) pourrais-je le déterminer ?
  • Steven Neutral
    Steven Neutral
    "Plus de min" car $ \Pr(\min(X_1,X_2)>x) = \Pr(X_1 \text{ et } X_2>x)$
  • mine67
    mine67
    Merci Steven ;) J'avais pas fait bien attention ! Si le minimum est supérieur ça veut dire que tous les deux sont supérieurs :)


    Mais je viens d'avoir une autre idée ! 8-) Si x et y sont des variables aléatoires uniformes sur [0, 1], donc n'en est-il pas de même pour min (x,y) ?! Si oui, posons Y = min (X1,X2),
    Donc on a F(x) = P[min(X1,X2)<=x] = P[Y<=x] = x. Et donc on obtient 1 pour la densité puis E(Y) = 1/2.
    Trop facile quand-même je trouve ! :S:)
  • aléa
    aléa
    "Si x et y sont des variables aléatoires uniformes sur [0, 1], donc n'en est-il pas de même pour min (x,y) ?"

    Non, ce n'est pas raisonnable car min (x,y) est toujours plus petit que x.

    Plus précisément

    $x-\min(x,y)\ge \frac13 1_{x\ge 2/3,y\le 1/3}$, donc
    $E(x)-E(\min(x,y))\ge\frac13P(x\ge 2/3,y\le 1/3)=\frac1{27}$ en cas d'indépendance.
  • mine67
    mine67
    Ah merci Aléa ! C'est clair ce que tu as posté !
  • mine67
    mine67
    Merci Gérard ;)
  • PinkMan
    PinkMan
    Bonjour Aléa
    Je me demande comment tu as trouvé le $x - E[\min(x,y)] \le \frac{1}{3} \mathbb{1}_{(x\ge2/3,y\le 1/3)}$. Enfin je me demande d'où vient le $\frac{1}{3}$.

    Merci.
  • P.
    P.
    C'est bien mal recopié, PinkMan. L’inégalité est dans l'autre sens et il faut supprimer le symbole d’espérance. Aléa, ton inégalité est rigolote.
  • PinkMan
    PinkMan
    Merci bien P.
    J'ai tout compris :)
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