Variance de la médiane d'un échantillon

campagne · September 2011

Bonjour,
Connaissez-vous un moyen de calculer la variance sur la médiane d'un échantillon?
Je connais la formule
$$V(\hat{m}) = \frac{1}{4n f^2(m)}$$
si l'on connait la loi de distribution $f$ de l'échantillon de taille $n$ et de médiane observée $m$.
Mais dans le cas général, je n'arrive pas à trouver une formule du type de celle de la variance sur la moyenne.

Merci de votre aide potentielle.

alekk · September 2011

juste pour essayer de clarifier la question: on observe des realisations $X_1, \ldots, X_n$ independantes et distribuees selon la densite $f(x) \, dx$. Quelle est la variance de la variable aleatoire $M = \text{Mediane}(X_1, \ldots, X_n)$ ? Si c'est la question, il est tres probable qu'il n'existe pas de formule simple. Par contre, il existe des formules asymptotiques.

campagne · September 2011

C'est cela,
pour un echantillon meme sans connaitre la fonction de distribution a priori, on a des formules donnant la moyenne, l'errreur quadratique moyenne, la variance de la moyenne et la variance de l'erreur quadratique moyenne.

Pour ce qui concerne la mediane, on a bien la definition qui permet de la determiner algorithmiquement, on peut egalement avoir l'intervalle inter-quartle (1er et 3eme quartiles) qui donne une estimation de la dispersion. Mais je n'ai pas trouve de moyen de trouver l'erreur sur la determination de mediane.

Il y a bien la methode qui procede par l'elimination successive d'un element de l'echantillon puis le calcul de la mediane du sous echantillon, et de considerer l'erreur quadratique moyenne de l'ensemble des valeurs de ces medianes. Mais qd on a des echantillons de taille O(100) a O(10000), ca me parait pas praticable...

D'ou ma question.Meme des formulations asymptotiques m'interesseraient.

bd · September 2011

Salut,

Je ne connais pas de formule asymptotique, mais il y a le bootstrap qui peut te donner une valeur asymptotique qui doit déjà "marcher" pour un échantillon de taille $100$.

Cordialement,
bd

campagne · September 2011

"bd" as-tu un lien qui permettrait de voire simplement ce "bootstrap", je n'ai pas vu d'exmple simple...
Merci

bd · September 2011

Bah c'est un bon début : \hyperref{http://fr.wikipedia.org/wiki/Bootstrap_(statistiques)}

EDIT : Bootstrap non paramétrique bien sûr
EDIT BIS : Je doute qu'il existe une formule, même asymptotique, donnant la variance de la médiane sans faire intervenir la distribution sous-jacente

egoroffski · September 2011

Je ne comprends pas bien ton problème campagne ; tu donnes dès ton premier message une formule, qui donne bien la variance asymptotique de la médiane empirique. On peut être plus précis en disant que $\sqrt{n}(\hat{m}_n-m)$ est asymptotiquement gaussienne, de variance $1/4f(m)^2$.

Si ton objection est "mais on ne connaît pas $f$", je me permets de signaler que, dans le cas de la moyenne, on a $\sqrt{n}(\hat{\mu}_n-\mu) \stackrel{\mathcal{L}}{\to} \mathcal{N}(0,\sigma^2)$, mais on ne connaît pas $\sigma^2$ non plus. Ce qu'on fait en pratique c'est qu'on estime $\sigma^2$ par la variance empirique $s_n^2$. Dans le cas de la médiane, c'est la même chose : on remplace $f(m)$ par $\hat{f}_n(\hat{m}_n)$, où $\hat{f}_n$ est un estimateur de $f$ (typiquement un estimateur à noyau).

campagne · September 2011

egoroffski et autres, merci d'avoir répondu a mon appel. Je pense que mon probleme etait mal pose et je vais y travailler.

Naoulle · July 2019

Bonjour à tous,

J'aimerais relancer cette discussion. Je suis très intéressé par la formule donnée ici. Cependant, je n'arrive pas à la prouver... J'ai un peu de mal notamment puisqu'il s'agit d'une médiane et je n'arrive pas bien à traduire tout ça pour obtenir cette formule. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ou me donner une piste ?

Merci d'avance.

Variance de la médiane d'un échantillon

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6