M.Brownien dans R^3
Bonjour
Merci d'avance pour toute idée de mon problème.
$ B $ est un M.Brownien sur $ \mathbb{R}^{3} $ issu de $ x\neq 0 $
On a $ |B_{t}|^{2}=|x|^{2}+2\int_{0}^{t}|B_{s}|d\beta_{s} + 3t,\ \beta $ est un MB standard réel issu de $ 0 $
$ |B_{t}|=|x|+\beta_{t}+ \int_{0}^{t}\frac{ds}{|B_{s}|}. $
1) Vérifier à l'aide de la densité gaussienne que la famille $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est bornée dans $ L^{2} $
2) Montrer que $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est une martingale locale, mais n'est pas une vraie martingale.
Merci d'avance pour toute idée de mon problème.
$ B $ est un M.Brownien sur $ \mathbb{R}^{3} $ issu de $ x\neq 0 $
On a $ |B_{t}|^{2}=|x|^{2}+2\int_{0}^{t}|B_{s}|d\beta_{s} + 3t,\ \beta $ est un MB standard réel issu de $ 0 $
$ |B_{t}|=|x|+\beta_{t}+ \int_{0}^{t}\frac{ds}{|B_{s}|}. $
1) Vérifier à l'aide de la densité gaussienne que la famille $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est bornée dans $ L^{2} $
2) Montrer que $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est une martingale locale, mais n'est pas une vraie martingale.
Réponses
-
Bonnuitjour,
Je pense que tu devrais écrire tes idées auxquelles on parsèmerait quelques aides, -
Salut.
Je suis arrivé à l'étape suivante :
On a $ B_{t}=x+\sqrt{t}N $ en (loi). Avec $ N\sim \mathcal{N}(0,I_{3}) $
donc $ \mathbb{E}(|B_{t}|^{-2})= \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) $
à ce point je ne suis pas arrivé à démontrer que $ \sup\limits_{t\in [0,\infty[} \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) < \infty $ -
Peut-être que l'égalité |B_t|^-1=x^-1-int(|B_s|^-2dbeta_s,s=0..t) peut t'aider pour la second question, pour la première je pense que tu devrais passer par une intégrale via la densité gaussienne.
-
C'est plus facile que ca, applique juste Ito (ou la version localisee) et tu peux resoudre les deux question en un coup.
-
oui Itô-Doeblin
-
Salut statquant et Yalcin.
Veuillez m'expliquer la méthode, et donner la version localisée d'Ito.
Merci d'avance.
[Kiyosi Itô (1915-2008) mérite une majuscule et le respect de son patronyme. AD] -
2) avec Itô-Doeblin, tu as |B_t|^-1=x^-1-int(|B_s|^-2dbeta_s,s=0..t), donc c'est une martingale locale, mais l'espérance de son crochet n'est pas finie, donc elle n'est pas une vraie martingale.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres