M.Brownien dans R^3
Bonjour
Merci d'avance pour toute idée de mon problème.
$ B $ est un M.Brownien sur $ \mathbb{R}^{3} $ issu de $ x\neq 0 $
On a $ |B_{t}|^{2}=|x|^{2}+2\int_{0}^{t}|B_{s}|d\beta_{s} + 3t,\ \beta $ est un MB standard réel issu de $ 0 $
$ |B_{t}|=|x|+\beta_{t}+ \int_{0}^{t}\frac{ds}{|B_{s}|}. $
1) Vérifier à l'aide de la densité gaussienne que la famille $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est bornée dans $ L^{2} $
2) Montrer que $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est une martingale locale, mais n'est pas une vraie martingale.
Merci d'avance pour toute idée de mon problème.
$ B $ est un M.Brownien sur $ \mathbb{R}^{3} $ issu de $ x\neq 0 $
On a $ |B_{t}|^{2}=|x|^{2}+2\int_{0}^{t}|B_{s}|d\beta_{s} + 3t,\ \beta $ est un MB standard réel issu de $ 0 $
$ |B_{t}|=|x|+\beta_{t}+ \int_{0}^{t}\frac{ds}{|B_{s}|}. $
1) Vérifier à l'aide de la densité gaussienne que la famille $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est bornée dans $ L^{2} $
2) Montrer que $ (|B_{t}|^{-1})_{t\geq 0} $ est une martingale locale, mais n'est pas une vraie martingale.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je pense que tu devrais écrire tes idées auxquelles on parsèmerait quelques aides,
Je suis arrivé à l'étape suivante :
On a $ B_{t}=x+\sqrt{t}N $ en (loi). Avec $ N\sim \mathcal{N}(0,I_{3}) $
donc $ \mathbb{E}(|B_{t}|^{-2})= \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) $
à ce point je ne suis pas arrivé à démontrer que $ \sup\limits_{t\in [0,\infty[} \mathbb{E}(|x+\sqrt{t}N|^{-2}) < \infty $
Veuillez m'expliquer la méthode, et donner la version localisée d'Ito.
Merci d'avance.
[Kiyosi Itô (1915-2008) mérite une majuscule et le respect de son patronyme. AD]