Probabilité pile ou face

Je note $E_P$ l'espérance du nombre de lancers sachant que le premier est un pile, et $E_F$ l'espérance du nombre de lancers sachant que le premier est un face.
En commençant par un pile, soit on a un pile puis un face, soit $2$ piles puis un face, soit $3$ piles puis un face, ..., soit $7$ piles à la suite.
Ceci nous donne la relation $E_P = \dfrac{1}{2}(1+E_F) + \dfrac{1}{4}(2+E_F) + ... + \dfrac{1}{64}(6+E_F) + \dfrac{1}{64}\times 7$.
Idem, on a $E_F = \dfrac{1}{2}(1+E_P) + \dfrac{1}{4}(2+E_P) + ... + \dfrac{1}{64}(6+E_P) + \dfrac{1}{64}\times 7$.

En résolvant ce système, on obtient $E_P = E_F =127$.

Le nombre de lancers cherché est alors $\dfrac{E_P+E_F}{2} = 127$, ce qui a l'air confirmé par mes simulations numériques (en espérant que je n'ai pas écrit de boulette).

[Edit : En fait, ça ne collait pas tant que ça à mes simulations. Je m'étais gouré dans mes valeurs. J'ai corrigé : la réponse est $127$ et non $123.5$.]

Je ne comprends pas ton 2ème message. J'avais effectivement fait une erreur : la réponse est $127$ et non $123.5$. Mais ça ne change pas grand chose à l'ordre de grandeur.

C'est la tienne bien sûr, mais en ajoutant 2012 qui est la fin du monde dans le calendrier maya, et en divisant par 3, parce que sinon ça fait trop.

Sinon, tu as lu les messages de Guego?

Tu as expliqué toi-même la différence dans ton premier message : le calcul menant au résultat 460 ne tient compte que des séries de 7 pile ou face consécutifs observées dans un "paquet" de 7 lancers, et donc il ne "voit" pas les séries de 7 qui sont à cheval sur deux paquets. Par exemple pour une série qui commence par P,F,P,F,F,F,F,F,F,F,P,P,P,F,... l'autre calcul ne "voit" pas la série de 7 faces qui collence au 4ème lancer, contrairement au calcul de Guégo.

Une probabilité de 127, c'est quand même un peu grand. D'habitude c'est plus petit que 1. Mais bon si tu es sûr...

J'ai pas trop compris ce que tu demandes. Est-ce le nombre k de tirages (jet d'une pièce) de façon à avoir au moins 7 "pile" (ou face) consécutifs avec une probabilité de 1/2 ?


Pour en revenir à l'article, ce n'est finalement pas si compliqué

dans cette formule Pr{k,q,n} = Pr{k-1,q,n} + (q^n)(1-q) [1 - Pr{k-n-1,q,n}]

Pr{k,q,n} désigne la probabilité d'obtenir au moins n succès consécutifs sur k tirages, avec une probabilité q de succès pour chacun des tirages.

Dans ton cas, q=1/2, n=7

La proba Pr{k,q,n} d'avoir au moins n succès consécutifs sur k tirages est égale à la somme de:

- La proba d'avoir au moins n succès consécutifs sur les k-1 tirages
et cette proba vaut Pr{k-1,q,n}

- La proba d'avoir exactement n succès sur les n derniers tirages et pas de succès avant.
le terme q^n correspond aux n succès sur les n derniers tirages
Il faut un échec juste avant, c'est le terme (1-q)
et aucun succès avant, c'est le terme 1 - Pr{k-n-1,q,n}

Si le tirage est (je fais des paquets de 7) :
PPPFFFF FFFPPPF PPPPPPP
....

Combien de tirages ont été nécessaires pour toi ? Ta définition semble changer d'un message au suivant.

OK.

Je te demandais ça parce que, dans ton avant dernier mail, le raisonnement n'est pas valable avec cette définition : tu dis que tu as une proba de 1/128 (d'ailleurs c'est plutôt 1/64) de réussir sur les 7 premiers lancers, ou les 7 suivants (de 8 à 14), ou ... Tu ne t'intéresses donc pas au séries qui peuvent être à cheval comme dans l'exemple que j'ai donné.

Bon, mais Guego a déjà répondu non ?

Mais pourquoi écris-tu cela alors (et qu'est-ce que ça veut dire d'ailleurs) " Mais ces 64 solutions sont fait en 448 car 64 * 7 = 48. "

Certes. Mais pourquoi multiplies-tu par 7 ? Que penses-tu obtenir ainsi ?

Tu obtiens en faisant cela (64*7) l'espérance du nombre de lancers nécessaires pour obtenir 7 piles ou 7 faces pour la première fois lors d'une série de lancers non à cheval.

Premier instant où j'obtiens 7 piles ou 7 faces consécutivement : je le note A
Premier instant où j'obtiens 7 piles ou 7 faces consécutivement et non à cheval : je le note B

Je reprend mon ancien exemple :

FFFPPPP PPPFFFF PPPPPPP ...

Dans l'exemple : A=10 et B=21.

Tu noteras que 21 c'est 3*7 : on a réussi à la troisième série de 7 lancers.

Ton 64*7 est l'espérance de B
Le résultat de Guego (première réponse) est l'espérance de A.

Si on fait confiance à Guego, la moyenne du nombre de lancers nécessaires est 127.

pardon, c'est 128 j'avais oublié

en fait il faut multiplier tout simplement la derniere mise par deux.

Bonjour,
La loi sur les grands nombres ne prévoit pas le type de prévision qui est demandée ici. On peut très bien faire 1000 pile a la suite, c'est uniquement la probabilité de tirer face qui augmente puisqu'à l'infini les deux doivent être égaux.

Attendre quatre ans, ce n'est pas grave, mais attendre quatre ans pour dire une telle bêtise ...