Hermite

Letonkez
Letonkez
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir,

J'essaie de prouver que : \quad $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t)^n}{n!}\frac{d^n}{dx^n}e^{\tfrac{-x^2}{2}}=e^{tx-\tfrac{-t^2}{2}}$
J'ai essayé plusieurs pistes (fonction caractéristique, identification en développant la seconde expression) pour résoudre ce problème, malheureusement elles n'ont pas abouti. Est-ce quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci,

L

Réponses

  • h
    h
    Une proposition au hasard : une équa diff ou une EDP simple ?
  • Foys
    Foys
    Ça sent le Taylor à plein nez
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • h
    h
    Tiens ça me crève les yeux une fois lu :) Par contre il manque un facteur $e^{-x^2/2}$ non ?
  • Yalcin
    Yalcin
    Bonjour,

    On peut utiliser le fait que exp(tx-t²/2)=exp(x²/2).f(x-t) où f(x)=exp(-x²/2) et d'utiliser le développement en série de Taylor de f(x-t) avec a=x où (x-t-a)^k/k! est le coefficient devant f^(k)(a)
  • Letonkez
    Letonkez
    Bonsoir,

    Merci pour vos réponses. Effectivement il y avait un facteur $e^{x^2/2}$ qui manquait dans mes notes manuscrites.
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Bonjour!

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