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nouons nos lacets !

Envoyé par kolotoko 
kolotoko
nouons nos lacets !
il y a sept années
Bonjour

Tout le monde se souvient d'un récent défi proposé dans le journal Le Monde. [www.les-mathematiques.net]

Je généralise : On dispose d'une poignée 2n lacets tenus dans une main.
On noue par paire les 2n extrémités en haut (ce qui fait n nœuds) en les choisissant au hasard et de même on noue par paire les 2n extrémités en bas.
Quelle est la probabilité pour obtenir k boucles (1 =< k =< n).

Je rappelle que dans l'exercice du journal Le Monde n = 3 et k = 1 .
Bien cordialement
kolotoko



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nouons nos lacets !
il y a sept années
avatar
Bonjour kolotoko,

Ce sujet était bien présenté et plusieurs intervenants de la discussion afférente à ce DdM ont entammé l'étude de la généralisation à mots couverts pour ne pas donner la solution prématurément.

Pour la proba d'obtenir une seule Grande boucle, on a
$$P_n^1 =\dfrac {2\times 4\times 6\times ...\times (2n-2)}{1\times 3\times 5\times ...\times (2n-1)}$$
On a évoqué le calcul d'un équivalent de cette proba pour n grand à l'aide de la formule de Stirling.

Pourquoi ouvres-tu une nouvelle discussion à ce sujet? On peut très bien jouer les prolongations.

Amicalement. jacquot

[Edit expression corrigée]
kolotoko
Re: nouons nos lacets !
il y a sept années
Bonjour,

Jacquot : j'aimerais voir comment font certaines ou certains .

Je connais la réponse à ma question (2n lacets, k boucles) mais on apprend toujours à lire d'autres solutions.

Le cas 2n lacets et 1 boucle a bien été décortiqué grâce à la formule de Stirling (et de De Moivre).

A remarquer ici le lien de cette question (2n lacets et 1 boucle) avec A006882 dans OEIS.

Bien cordialement

kolotoko
Re: nouons nos lacets !
il y a sept années
avatar
Bonjour,

Je trouve que la probabilité d'obtenir $k$ boucles est $\displaystyle\dfrac{4^nn!}{(2n)!}\dfrac{{n\brack k}}{2^k}$ où $\displaystyle{n\brack k}$ est un nombre de Stirling de première espèce (sans signe).
kolotoko
Re: nouons nos lacets !
il y a sept années
Bonsoir,

Jacquot : n'est-il pas curieux que la probabilité que tu proposes (2n lacets, 1 boucle) soit une intégrale de Wallis ?

bien cordialement

kolotoko
kolotoko
Re: nouons nos lacets !
il y a sept années
Bonsoir,

Juge Ti : je confirme ta formule .

A remarquer que si on note P(n,k) la probabilité de faire k boucles avec 2n lacets on a :
Somme (P(n,k)*x^k, 1<=k<=n) = Produit ((2j+x)/(2j+1), 0<=j<=n-1) .

bien cordialement

kolotoko
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