Martingale locale minorée
Bonjour,
je lis un document et l'auteur semble utiliser le fait qu'une martingale locale (en temps discret) nulle en 0 et minorée est une martingale. Je n'arrive pas à trouver de références sur le sujet, ni de démonstration. D'après ce que j'ai trouvé, on a seulement le fait que c'est une sur-martingale.
Je précise le contexte. On fixe une martingale locale $(S_t)_{t\in\N}$ et on considère un processus prévisible $H$. On pose
$$
H\cdot S_t = \sum_{u=1}^t H_u\Delta S_u \text{ avec } \Delta S_u = S_u - S_{u-1}
$$
Il n'est pas difficile de montrer que $(H\cdot S)$ est une martingale locale. L'auteur ajoute alors l'hypothèse que cette martingale locale est minorée. Il en déduit que $(H\cdot S)$ est une vraie martingale et qu'elle converge $p.s.$
Je ne vois pas pourquoi.
Merci par avance à ceux qui pourraient m'aider à comprendre cela.
je lis un document et l'auteur semble utiliser le fait qu'une martingale locale (en temps discret) nulle en 0 et minorée est une martingale. Je n'arrive pas à trouver de références sur le sujet, ni de démonstration. D'après ce que j'ai trouvé, on a seulement le fait que c'est une sur-martingale.
Je précise le contexte. On fixe une martingale locale $(S_t)_{t\in\N}$ et on considère un processus prévisible $H$. On pose
$$
H\cdot S_t = \sum_{u=1}^t H_u\Delta S_u \text{ avec } \Delta S_u = S_u - S_{u-1}
$$
Il n'est pas difficile de montrer que $(H\cdot S)$ est une martingale locale. L'auteur ajoute alors l'hypothèse que cette martingale locale est minorée. Il en déduit que $(H\cdot S)$ est une vraie martingale et qu'elle converge $p.s.$
Je ne vois pas pourquoi.
Merci par avance à ceux qui pourraient m'aider à comprendre cela.
Réponses
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Tu peux montrer qu'une martingale locale minorée est une sur-martingale en choisissant une suite de temps d'arret puis en utilisant le lemme de Fatou.
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Je te remercie de ta réponse, mais je sais comment montrer cela. Ce n'est pas ce qui me pose problème.
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Il y a un théorème de Meyer énoncé en page 9 de ce document : http://www.math.hu-berlin.de/~foellmer/papers/Foellmer_Protter_2010.pdf
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On peut faire simple (quitte à translater la borne inférieure). Si $(M_n)_{n\in \Bbb N}$ est une martingale locale positive, on sait que c'est une sur-martingale.
On en déduit que c'est une vraie martingale sur tout intervalle de temps fini $\{0,1,\dots,N\}$ car $$\Bbb E(\sup_{0\leq n \leq M} |M_n|) \leq \sum_{n=0}^N \Bbb E(M_n) \leq (n+1)\Bbb E(M_0) < \infty.$$
[Edit: modifié selon tes indications.
Remarque: si tu étais logué, tu pourrais corriger toi-même... jacquot] -
Merci pour votre aide !
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Hello,
Sauf erreur cela ne suffit pas pour en faire une martingale et il y a un contre-exemple dans le Jacod-Shyryaev "Limit Theorems for Stochastic Processes" (Example 1.49 page 12) de martingale locale minorée (puisque positive) qui est une martingale locale stricte ( prendre $t=n$ pour transposer au cas discret).
Autre contre-exemple prendre $X_t$ l'inverse du Bessel 3 démarré en $(0,0,1)$ qui est une martingale stricte en temps continu (hyper classique) et transposer au cas discret en prenant la partie entière de $t$ et pour la suite de temps d'arrêts localisante en temps discret prendre $R_n=T_n \wedge n$.
a+ -
@TheBridge : ça m'étonne, d'autant plus que je suis tombé sur Jacod, J., & Shiryaev, A. N. (1998). Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case. Finance and stochastics, 2(3), 259-273. Le théorème 2 donne une généralisation du résultat de ce fil.
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Je n'y ai pas accès à cet article
il y a sûrement un détail qui explique le delta
a+ -
Et moi je n'ai pas accès à "Limit Theorems for Stochastic Processes". Voici un extrait de l'article mentionné :
Dans tous les cas il me semble que le raisonnement suivant est classique : comme on a une martingale locale il existe une bonne suite de temps d'arrêt $(\tau_k)$ telle que lorsque $0 \leq s < t \leq N$ on a $\Bbb E(M^{(\tau_k)}_t \mid \mathcal{F}_s) = M^{(\tau_k)}_s$. Sous la condition $\Bbb E(\sup_{0 \leq t \leq N} |M_t|) < \infty$ prouvée dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,863270,863314#msg-863314 on a $\Bbb E(|M_t|) < \infty$ et le théorème de convergence dominée conditionnel donne $\Bbb E(M_t \mid \mathcal{F}_s) = M_s$. -
Ah mais ce n'est pas la même chose qui est dit là, il n'est pas question de martingale locale seulement minorée dans ce théorème. Les conditions sont plus fortes.
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Euh... je vais sûrement dire une grosse bêtise alors mais il me semble que si $X_n \geq -K$ avec $K \geq 0$ alors $E(X_n^-) \leq K < \infty$. Non ? Je suis tellement à côté de la plaque en ce moment que c'est très possible que je dise n'importe quoi.
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Ok j'ai dit une bétise dans mon post précédent le théorème 2 a/ correspond bien à ce qui est attendu.
Sinon voilà les éléments dont je dispose dans le Jacod/Shiryaev : -
Me voilà rassuré. Tout est bien qui finit bien car dans l'exemple donné ci-dessus, la martingale locale $X$ n'est pas minorée.
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Quel idiot j'avais lu $2^{-n}$ au lieu de$-2^n$ ...merci Simeon
Reste une question pourquoi le second contre exemple ne marche pas ?
a+
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