Convergence en proba et th de Moivre-Laplace

Si c'était vrai, $Z_{2n}-Z_n$ convergerait en probabilité vers $0$. La convergence en proba vers une constante entraîne la convergence en loi vers cette constante, or le TCL permet de montrer assez simplement que $Z_{2n}-Z_n$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,2-\sqrt{2})$.

Un autre façon de le montrer est de dire que s'il y avait convergence en probabilité, la variable aléatoire limite serait mesurable par rapport à la tribu terminale, et donc égale presque sûrement à une constante en vertu de la loi du zéro-un de Kolmogorov.

On peut aller plus loin (mais c'est plus ardu) avec la loi du logarithme itéré : $\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \frac{X_1+\dots+X_n}{\sqrt{2\sigma^2n\log\log n}} = 1$.

Et si tu as déjà simulé une marche aléatoire sur ton ordinateur, tu dois bien comprendre pourquoi ça ne peut pas converger en proba. Tu peux essayer de jouer avec ce code R :

N=1000000; plot(cumsum(sample(c(-1,1),size=N,replace=TRUE)) / sqrt(1:N),type="line")