variable aléatoire bornée et convergence
Bonjour
J'en suis arrivé à me demander si de toute suite de v.a uniformément bornée (i.e pour tout n, $|X_n|<M$, p.s.) on peut extraire une sous-suite convergeant en proba ?
Si je ne m'abuse on peut extraire une sous-suite convergeant au sens *-faible de $L^\infty$ ce qui me semble être équivalent à la convergence en proba mais je peux me tromper...
J'en suis arrivé à me demander si de toute suite de v.a uniformément bornée (i.e pour tout n, $|X_n|<M$, p.s.) on peut extraire une sous-suite convergeant en proba ?
Si je ne m'abuse on peut extraire une sous-suite convergeant au sens *-faible de $L^\infty$ ce qui me semble être équivalent à la convergence en proba mais je peux me tromper...
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Réponses
Celà revient à demander si on peut avoir la convergence presque sûre d'une sous-suite.
Si on prend $X_n(\omega):=\sin(n\pi \omega)$ sur l'intervalle unité, et si une sous-suite converge presque sûrement vers $X$ alors $X=0$ (on peut le voir en regardant $\int_{(0,1)}f(t)X_{n_k}(t)\mathrm dt$ pour $f$ continue et appliquer un argument de convergence dominée).
On prend pour univers $([0,1], Bor([0,1]), \lambda)$, et on définit $X_n$ par $X_n(w)=1_{[0,1/2]} $ si n pair et $1_{[1/2,1]}$ sinon.
Il est à mes yeux immédiat que si convergence en proba il y a, elle ne peut avoir lieu que vers $X=0$ ou $X=1$.
Or pour ces deux "limites" on voit que $Pr(|X-X_n|<\epsilon)$ ne peut dépasser 1/2 dés que epsilon est plus petit que 1.
Cordialement
J'ai l'impression que tu veux utiliser quelque comme " si $X_n$ converge faible* vers $X$ dans $L^\infty$ et prenant la foction test $Y_n= 1_{|X_n-X|>\varepsilon}$" tu conclus.
Ubermensch, si je prends les suites extraites $X_{2n}$ et $X_{2n+1}$ elles convergent bien presque surement (donc en proba) vers $1_{[0,1/2]}$ (resp $1_{[1/2,1]}$), non?
effectivement je pensais utiliser l'idée de Maxime. Sauf qu'il faut prendre $Y=1$
(pour éviter d'avoir un $Y_n$). J'écris ma "démo", à la recherche d'une erreur si l'argument de girdav est valide (je ne suis pas sûr de bien le suivre).
$X_n$ ne cv pas en proba vers $X$ est équivalent à l'existence de $\epsilon>0$ tel que
$\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon)$ ne converge pas vers $0$. Equivalent donc à $\epsilon'>0$,
$\mathbb{P}(|X_{n_k}-X|>\epsilon)>\epsilon'$ pour tout k.
On a alors
$\mathbb{E}(|X_{n_k}-X|)>\mathbb{E}(1_{|X_{n_k}-X|>\epsilon}|X_{n_k}-X|)>\epsilon\epsilon'$.
Donc $\mathbb{E}(1.|X_{n_k}-X|)$ ne converge pas vers $0$ donc $|X_{n_k}-X|$ ne converge pas *-faiblement vers 0, donc $X_{n_k}$ ne converge pas *-faiblement vers $X$.
Un jour j'y arriverais !
On prend une suite $X_1,X_2,X_3,\dots$ de variables pilouface indépendantes. Peut-il exister une sous-suite qui converge en proba ?
Maeglin : sauf que mon soucis ces derniers temps est de transposer une preuve du cas dimension finie au cas dimension non finie, et que des soucis non-anticipé apparaissent dans tous les coins (utilisation un peu "cachée" de propritété de compacité, d'où ma volonté de revenir à une topologie faible-* de L^\infty).
Je suis très étonné par les messages de Maeglin, souvent accompagnés de divers liens hypertextes mais quasi-systématiquement incompréhensibles ou à côté de la plaque. Se pourrait-il que Maeglin soit un robot qui cherche à nous berner ? Si ce n'est pas le cas, j'espère qu'il ne se sentira pas offensé.
Enfin, Sylviel, si tu cherches bien, tu peux toi-même retrouver les modes de convergences grâce aux ressources en ligne, comme la caractérisation de convergence étroite.
Oui, je suis bien humaine et je suis très bonne vivante : inutile de m'assimiler à un mannequin du magazine Woman ou Newlook, outre le fait qu'on ne manque pas d'humour.
Quel genre de propriétés de la compacité empêche d'envisager différentes caractéristiques des suites comme de l'espace dans lequel on se situe pour vos démonstrations ?
Je n'ai pas remis en cause l'existence des théorèmes de Dini, j'ai fait remarquer qu'ils étaient totalement hors-sujet.
Sauf face à l'avis : "ce n'est pas parce que $x_n -x$ converge faiblement vers $0$ que $|x_n - x|$ converge faiblement vers $0$. Un jour j'y arriverais ! ".
Ceci étant, la pièce jointe sur la convergence étroite évoque d'autres théorèmes à avoir comme ceux de : Portmanteau, d'Helly-Bray et de Levy, etc.
Voire là...