Question 1 --- Il suffit de remarquer que
$$\Pr(\Pi_n = 0 \textrm{ à partir d'un certain rang}) = \lim_{n\to\infty} \Pr(\exists k \leq n, \; X_k = 0)$$
Question 2 --- Pour utiliser le lemme de Borel-Cantelli, tu peux commencer montrer avec l'inégalité de Markov que pour tout $\epsilon > 0$ on a
$$
\sum_{n=1}^\infty \Pr(\Pi_n > \epsilon) < \infty
$$
Merci siméon,
Pour la question 1 j'essaie de remarquer ce que tu dis, mais je n'arrive pas à voir comment tu fais apparaître la limite.
En admettant ce que tu écris, je passe au complémentaire pour appliquer l'indépendance des $X_k$, et comme j'ai une intersection finie alors c'est le produit, puis j'utilise le fait que les $X_i$ sont identiquement distribuées pour avoir à la fin $$\Pr(\Pi_n = 0 \textrm{ à partir d'un certain rang}) = 1- \lim_{n\to\infty} \Pr( X_1 = 0)^n.$$ Mais ceci ne m'assure pas que $X_1>0$ presque surement.
Sinon dans l'autre sens, je ne vois pas comment faire alors je remonte les égalités dans l'autre sens.
J'avais complètement oublié l'inégalité de Markov qui résout la question 2.
Pensez-vous que la réciproque soit vraie. Je pense que non.
Du coup j'essaie de refaire le même raisonnement pour la question 3, mais la fonction $\ln$ peut changer de signe et m'empêche d'appliquer Markov.
Question 1 -- Tu as fait une erreur, on a : $\Pr(\exists k \leq n, X_k = 0) = 1 - (1-\Pr(X_1 = 0))^n$. Reste à regarder ce qui se passe suivant que $\Pr(X_1 = 0)$ est nul ou non.
Edit : pour le reste de la question il s'agit de voir que les $\{exists k \leq n, X_k = 0\}$ forment une suite croissante d'événements dont la réunion est ...
Question 2 -- Ok. En fait la condition $\mathbb{E}(X_1) < 1$ entraîne avec la même preuve quelque chose de beaucoup plus fort : $\Pi_n R^n$ converge presque sûrement vers $0$ dès que $|R| < \frac{1}{\mathbb{E}(X_1)}$. On sent bien que la condition $E(X_1) < 1$ est trop exigeante... reste à trouver un contre-exemple pour la réciproque.
Question 3 -- L'hypothèse d'intégrabilité permet ici d'appliquer la loi forte des grands nombres pour $\sum_{i=1}^n \frac{\log X_i}{n}$. N'est-ce pas ce que tu avais déjà pensé à faire ?
Je suis d'accord avec le raisonnement de la question 3, j'avais omis de dire que ln étant continue donc borélienne alors les ln(X_i) sont iid ce qui m'a fait partir autre part.
Question 4 j'applique la formule de la loi jointe qui donne la densité de Pi_n
Question 5 je refais le même stratagème qu'à la 3 pour utiliser le théorème limite central
Dans l'exercice 1, question 2 peut-on se contenter de dire que M est semblable dans une base orthonormale à la matrice diagonale des valeurs propres pour dire que les valeurs propres sont indépendantes comme le sont X1 et X2, bien que les lois des vecteurs propres ne soient pas les mêmes.
Enfin l'exercice 1, question 5, j'ai envie de dire que les valeurs propres ne sont pas des statistiques d'ordre de deux variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, bien qu'elles soient déjà ordonnées, je ne trouve pas la même densité et de plus à la question 2 j'ai dit qu'elles sont indépendantes;
Qu'en pensez-vous?
J'ai vu en faisant des recherches sur les matrices aléatoires que dans une thèse, les valeurs propres d'une matrice aléatoire gaussienne étaient fortement non corrélées à cause du déterminant de [size=large]V[/size]andermonde http://www.normalesup.org/{\~}cnadal/pdf/TheseCNadal.pdf et je cherchais une raison pour aller dans ce sens.
Mon autre option étant de remarquer que $ tr(M)= \lambda_1 +\lambda_2 =X_1+X_2$ et que $X_1 +X_2$ suit $N(0,2)$
puis de dire que $\det(M)=X_1 * X_2 = \lambda_1 * \lambda_2$ a pour densité une fonction de [size=large]B[/size]essel de deuxième espèce. http://media4.obspm.fr/public/M2R/supports/Dea45beta.pdf
Mais avec ces deux constats je n'arrive pas à prouver ce que tu avances.
Comment procèdes-tu pour prouver la non indépendance des valeurs propres ?
[Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme,
tout comme Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846). AD]
Par définition on a toujours $\lambda_1 \geq \lambda_2$ et pourtant on peut montrer que $\Pr(\lambda_2 > 0) > 0$ et $\Pr(\lambda_1 < 0) > 0$. Vois-tu pourquoi cela suffit à démontrer qu'elles ne sont pas indépendantes ?
P.S. Si on t'a donné ces exercices, c'est que tu es en mesure de les faire. Inutile d'aller farfouiller dans des manuscrits de thèse, sauf pour procrastiner.
Quand tu parles de propriétés de base de loi de [size=large]C[/size]auchy est-ce que tu sous-entend le fait que la convolée de deux lois de [size=large]C[/size]auchy est encore une loi de [size=large]C[/size]auchy puis qu'il va me rester à faire une récurrence immédiate.
toutefois, je ne sais pas si le produit de convolution que je connais pour la somme et la différence de variables aléatoires garde bien sa terminologie pour le produit
Ce qui me déstabilise c'est que la variable dont on veut connaitre la loi est un produit de n lois de Cauchy, bien qu'on ait une formule pour le produit de deux variables.
Si tu veux montrer une convergence presque sûre, les outils que tu utilises sont ils restreints à :
inégalité de [size=large]M[/size]arkov [size=large]B[/size]ienaymé [size=large]T[/size]chebitchev [size=large]B[/size]orel [size=large]C[/size]antelli
loi forte des grands nombres
Merci pour ton aide.
Cela fait des jours que je ne sais plus où aller à cause de ce devoir.
pour trouver la loi de log(X_i), je calcule $E(ln X_i)$ et je trouve comme densité $\frac{1}{\pi (1+u)^2}$
Autrement dit $log(X_i)$ suit une loi de cauchy de paramètre 1.
Du coup, je cherche la loi de $A=ln(\Pi_n)$ pour avoir une somme de loi de cauchy de paramètre 1 indépenddantes
Ensuite je cherche la loi de l'exponentielle de A;
Bonjour,
Je n'arrive pas à déterminer la loi de $\frac{\delta} {4}$ de l'exercice 1 sans laquelle je ne peux répondre à aucune question.
En fait on a $\frac{\delta} {4}=(\frac{X_1-X_2}{2})^2 + X_3^2$ avec $ (\frac{X_1-X_2}{2}) $ qui suit $\mathcal{N}(0, \frac{1}{2})$, $X_3$ qui suit $\mathcal{N}(0, 1)$, puis je calcule la densité du carré de chacun afin de faire la convolée de ces deux densité pour avoir celle de $\frac{\delta} {4}$, qui est $f(x)= \frac{1}{\pi \sqrt{2}} \exp(-\frac{x}{2}) \int_0^1 \frac{\exp(-\frac{\delta * u}{2})}{\sqrt{u(1-u)}}$ et je n'arrive pas à calculer l'intégrale.
J'ai déjà essayé les résidus l'intégration par parties , le changement de variables qui marcherait si je n'avais pas d'exponentielle au numérateur.
Est-ce vraiment moi, ou bien, il ya une technique très spéciale.
En tout cas, cela fait une semaine que je suis là-dessus, et une erreur de calcul me permettait de ne pas avoir ce numérateur gênant, puis après simple relecture, l'erreur se révèle à la veille du jour J. Elle est vraiment méchante cette erreur.
Ceci est très urgent, je vous remercie d'avance pour votre aide.
D'abord, j'ai essayé de rendre plus compréhensible ma démarche pour les valeurs propres.
Je suis d'accord que c'est une loi classique.
Avant mon erreur, j'avais une somme de carrés de lois normales centrées réduites qui me donnait tout de suite une loi du chi- deux à deux degrés de libertés mais là, c'est autre chose.
Si je note, $Z= \frac{X_1-X_2}{2} $ comme $Z$ qui suit $\mathcal{N}(0,\frac{1}{2})$ et $X_3$ qui suit $\mathcal{N}(0,1)$ sont indépendantes alors on a $Y=2 Z^2 +X_3^2$ qui suit une loi du chi deux à deux degrés de libertés, donc $\frac{\Delta}{4}=Z^2+X_3^2=Y-Z^2$, est une différence de loi du chi deux à 2 ddl et d'une loi du chi deux à un ddl, ce qui fait apparaître une intégrale du même type que dans mon post précédent, et m'empêche de conclure, à moins que cette loi soit stable par différence, ce qui m'arrangerait et que je n'ai pas vu dans ton lien.
Pour l'exo 1, je crois que l'auteur de l'exo l'a écrit un peu vite, et qu'il aurait dû prendre $X_3\sim N(0,1/2)$ et non $N(0,1)$ pour rendre le problème faisable.
Auriez vous un llien qui explique de manière simple comment obtenir la loi jointe des valeurs propres pour que j'en déduise celle des valeurs propres?
Je sais qu'ils utilisent le critère de Weyl.
Merci
Réponses
$$\Pr(\Pi_n = 0 \textrm{ à partir d'un certain rang}) = \lim_{n\to\infty} \Pr(\exists k \leq n, \; X_k = 0)$$
Question 2 --- Pour utiliser le lemme de Borel-Cantelli, tu peux commencer montrer avec l'inégalité de Markov que pour tout $\epsilon > 0$ on a
$$
\sum_{n=1}^\infty \Pr(\Pi_n > \epsilon) < \infty
$$
Pour la question 1 j'essaie de remarquer ce que tu dis, mais je n'arrive pas à voir comment tu fais apparaître la limite.
En admettant ce que tu écris, je passe au complémentaire pour appliquer l'indépendance des $X_k$, et comme j'ai une intersection finie alors c'est le produit, puis j'utilise le fait que les $X_i$ sont identiquement distribuées pour avoir à la fin $$\Pr(\Pi_n = 0 \textrm{ à partir d'un certain rang}) = 1- \lim_{n\to\infty} \Pr( X_1 = 0)^n.$$ Mais ceci ne m'assure pas que $X_1>0$ presque surement.
Sinon dans l'autre sens, je ne vois pas comment faire alors je remonte les égalités dans l'autre sens.
J'avais complètement oublié l'inégalité de Markov qui résout la question 2.
Pensez-vous que la réciproque soit vraie. Je pense que non.
Du coup j'essaie de refaire le même raisonnement pour la question 3, mais la fonction $\ln$ peut changer de signe et m'empêche d'appliquer Markov.
Edit : pour le reste de la question il s'agit de voir que les $\{exists k \leq n, X_k = 0\}$ forment une suite croissante d'événements dont la réunion est ...
Question 2 -- Ok. En fait la condition $\mathbb{E}(X_1) < 1$ entraîne avec la même preuve quelque chose de beaucoup plus fort : $\Pi_n R^n$ converge presque sûrement vers $0$ dès que $|R| < \frac{1}{\mathbb{E}(X_1)}$. On sent bien que la condition $E(X_1) < 1$ est trop exigeante... reste à trouver un contre-exemple pour la réciproque.
Question 3 -- L'hypothèse d'intégrabilité permet ici d'appliquer la loi forte des grands nombres pour $\sum_{i=1}^n \frac{\log X_i}{n}$. N'est-ce pas ce que tu avais déjà pensé à faire ?
Je suis d'accord avec le raisonnement de la question 3, j'avais omis de dire que ln étant continue donc borélienne alors les ln(X_i) sont iid ce qui m'a fait partir autre part.
Question 4 j'applique la formule de la loi jointe qui donne la densité de Pi_n
Question 5 je refais le même stratagème qu'à la 3 pour utiliser le théorème limite central
Dans l'exercice 1, question 2 peut-on se contenter de dire que M est semblable dans une base orthonormale à la matrice diagonale des valeurs propres pour dire que les valeurs propres sont indépendantes comme le sont X1 et X2, bien que les lois des vecteurs propres ne soient pas les mêmes.
Enfin l'exercice 1, question 5, j'ai envie de dire que les valeurs propres ne sont pas des statistiques d'ordre de deux variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, bien qu'elles soient déjà ordonnées, je ne trouve pas la même densité et de plus à la question 2 j'ai dit qu'elles sont indépendantes;
Qu'en pensez-vous?
Exercice 1 -- Je n'ai pas bien compris de quelle question tu parlais mais il est faux que $\lambda_1$ et $\lambda_2$ soient indépendantes.
J'ai vu en faisant des recherches sur les matrices aléatoires que dans une thèse, les valeurs propres d'une matrice aléatoire gaussienne étaient fortement non corrélées à cause du déterminant de [size=large]V[/size]andermonde http://www.normalesup.org/{\~}cnadal/pdf/TheseCNadal.pdf et je cherchais une raison pour aller dans ce sens.
Mon autre option étant de remarquer que $ tr(M)= \lambda_1 +\lambda_2 =X_1+X_2$ et que $X_1 +X_2$ suit $N(0,2)$
puis de dire que $\det(M)=X_1 * X_2 = \lambda_1 * \lambda_2$ a pour densité une fonction de [size=large]B[/size]essel de deuxième espèce.
http://media4.obspm.fr/public/M2R/supports/Dea45beta.pdf
Mais avec ces deux constats je n'arrive pas à prouver ce que tu avances.
Comment procèdes-tu pour prouver la non indépendance des valeurs propres ?
[Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme,
tout comme Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846). AD]
P.S. Si on t'a donné ces exercices, c'est que tu es en mesure de les faire. Inutile d'aller farfouiller dans des manuscrits de thèse, sauf pour procrastiner.
Déjà $P(A \cap
Si $\lambda_2>0$ alors $\lambda_1>0 $ donc $P(A)>0$
De même on a $P(B)>0$
Quand tu parles de propriétés de base de loi de [size=large]C[/size]auchy est-ce que tu sous-entend le fait que la convolée de deux lois de [size=large]C[/size]auchy est encore une loi de [size=large]C[/size]auchy puis qu'il va me rester à faire une récurrence immédiate.
toutefois, je ne sais pas si le produit de convolution que je connais pour la somme et la différence de variables aléatoires garde bien sa terminologie pour le produit
Ce qui me déstabilise c'est que la variable dont on veut connaitre la loi est un produit de n lois de Cauchy, bien qu'on ait une formule pour le produit de deux variables.
Si tu veux montrer une convergence presque sûre, les outils que tu utilises sont ils restreints à :
inégalité de [size=large]M[/size]arkov [size=large]B[/size]ienaymé [size=large]T[/size]chebitchev
[size=large]B[/size]orel [size=large]C[/size]antelli
loi forte des grands nombres
Merci pour ton aide.
Cela fait des jours que je ne sais plus où aller à cause de ce devoir.
P.S. : ton message concernant les valeurs propres dans le premier exercice est incomplet et incompréhensible en l'état.
Autrement dit $log(X_i)$ suit une loi de cauchy de paramètre 1.
Du coup, je cherche la loi de $A=ln(\Pi_n)$ pour avoir une somme de loi de cauchy de paramètre 1 indépenddantes
Ensuite je cherche la loi de l'exponentielle de A;
Merci,
Je n'arrive pas à déterminer la loi de $\frac{\delta} {4}$ de l'exercice 1 sans laquelle je ne peux répondre à aucune question.
En fait on a $\frac{\delta} {4}=(\frac{X_1-X_2}{2})^2 + X_3^2$ avec $ (\frac{X_1-X_2}{2}) $ qui suit $\mathcal{N}(0, \frac{1}{2})$, $X_3$ qui suit $\mathcal{N}(0, 1)$, puis je calcule la densité du carré de chacun afin de faire la convolée de ces deux densité pour avoir celle de $\frac{\delta} {4}$, qui est $f(x)= \frac{1}{\pi \sqrt{2}} \exp(-\frac{x}{2}) \int_0^1 \frac{\exp(-\frac{\delta * u}{2})}{\sqrt{u(1-u)}}$ et je n'arrive pas à calculer l'intégrale.
J'ai déjà essayé les résidus l'intégration par parties , le changement de variables qui marcherait si je n'avais pas d'exponentielle au numérateur.
Est-ce vraiment moi, ou bien, il ya une technique très spéciale.
En tout cas, cela fait une semaine que je suis là-dessus, et une erreur de calcul me permettait de ne pas avoir ce numérateur gênant, puis après simple relecture, l'erreur se révèle à la veille du jour J. Elle est vraiment méchante cette erreur.
Ceci est très urgent, je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je suis d'accord que c'est une loi classique.
Avant mon erreur, j'avais une somme de carrés de lois normales centrées réduites qui me donnait tout de suite une loi du chi- deux à deux degrés de libertés mais là, c'est autre chose.
Si je note, $Z= \frac{X_1-X_2}{2} $ comme $Z$ qui suit $\mathcal{N}(0,\frac{1}{2})$ et $X_3$ qui suit $\mathcal{N}(0,1)$ sont indépendantes alors on a $Y=2 Z^2 +X_3^2$ qui suit une loi du chi deux à deux degrés de libertés, donc $\frac{\Delta}{4}=Z^2+X_3^2=Y-Z^2$, est une différence de loi du chi deux à 2 ddl et d'une loi du chi deux à un ddl, ce qui fait apparaître une intégrale du même type que dans mon post précédent, et m'empêche de conclure, à moins que cette loi soit stable par différence, ce qui m'arrangerait et que je n'ai pas vu dans ton lien.
Merci,
Je sais qu'ils utilisent le critère de Weyl.
Merci