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EMV du modèle uniforme.

Envoyé par Souki 
EMV du modèle uniforme.
il y a neuf mois
Bonsoir à tous,

on se place dans le modèle uniforme $\{\mathcal{U}[0,\theta], \theta > 0\}$. On montre que l'estimateur du maximum de vraisemblance est $\hat \theta_n= \text{Max}(X_1,\cdots, X_n)$. En caclulant la fonction de répartition de $\hat \theta_n$, puis l'espérance et la variance de $\hat \theta_n$, on s'aperçoit que $\hat \theta_n$ est convergent.
Je voudrai savoir s'il est fortement convergent.
Je remarque que la suite $(\hat \theta_n)_n$ est croissante, mais je ne vois pas en quoi ça peut aider. Il faut que je montre que cette suite converge presque sûrement vers $\theta$ ... La croissance implique que pour tout évènement $\omega$, $\hat \theta_n(\omega)$ converge dans $\R$ ou diverge vers $+\infty$. Comment trancher entre les deux ? On n'a aucune hypothèse de majoration...

Bien cordialement.
Re: EMV du modèle uniforme.
il y a neuf mois
avatar
Il y a une majoration triviale $\hat{\theta}_n \leq \theta$ car les $X_i$ sont des éléments de l'intervalle $[0,\theta]$ et donc $\hat{\theta}_n$ aussi... Ceci dit, ça ne suffit pas à montrer que la limite est exactement $\theta$. Ce qui me semble le plus rapide est d'écrire que,
$$
\sum_{n \geq 1} \Pr\left(\hat{\theta}_n \leq \theta - \frac{1}{n}\right) = \sum_{n \geq 1} \Pr\left(X_1\leq \theta - \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{n\geq 1} \left(1 -\frac{1}{n\theta}\right)^n < \infty
$$
et d'utiliser le lemme de Borel-Cantelli.
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