Loi binomiale - loi normale

CIRDECO0 · February 2014

Bonjour,
J'aurais besoin d'une formulation très simple (sans faire appel à différents modes de convergence, niveau Terminale S au maximum) pour expliquer le passage du caractère discret de la loi binomiale au caractère continu de la loi normale.
La formulation suivante est-elle correcte :

Le diagramme en bâtons d'une loi binomiale de paramètres n et p lorsque n est très grand et que p n'est pas voisin de 0 et de 1, peut être approché par une courbe en cloche, courbe en cloche qui est celle d'une fonction appelée densité de probabilité et qui définit une nouvelle loi de probabilité appelée loi normale.

Merci de rectifier toute inexactitude ou de rajouter des compléments indispensables éventuels.
Bien cordialement,
C.

PS : la loi normale est une approximation de la loi binomiale ou la loi binomiale est-elle une approximation de la loi normale ?

[ Pas de titre en majuscules STP, pour garder une certaine uniformité de notre page d'accueil. jacquot]

gerard0 · February 2014

Bonjour.

Ta formulation à propos de la représentation en bâtons est en partie correcte, mais oublie le fait qu'il y a plusieurs "courbes en cloche" possibles et qu'on en choisit une particulière, que ce n'est pas une densité de probabilité (il va falloir normaliser) sauf si on prend la précaution d'utiliser les fréquences, et que l'approximation ne porte pas sur la densité mais sur les probabilités d'être dans un intervalle donné, au voisinage de la moyenne.

Est-ce vraiment utile de donner ce genre de définition ? Alors qu'une visualisation des représentations en bâtons, puis, après avoir défini la loi Normale, le théorème (forcément admis) sur les approximations (s'il est au programme) est largement plus simple.

Cordialement.

Lucas · February 2014

Bonjour,

Le problème c'est qu'il y a plein d' "inexactitudes" comme tu dis :

"n est très grand"
"p n'est pas voisin de 0 et de 1"
"peut être approché"

Tout ça n'est pas très clair mais c'est un peu normal vu que c'est une question difficile. Et pour confirmer ce que dit Gérard, l'approximation binomiale/loi normale ne s'écrit pas vraiment bien pour les histogrammes/densité (pour avoir un énoncé correct il faudrait prendre des découpages de plus en plus fins).

Pourquoi est-ce que la formulation avec les fonctions de répartition (suggérée par eduscol par exemple) ne te plaît pas? Elle ne fait intervenir qu'une limite de nombres réels :
$$
\mathbb{P}\left(a\leq \frac{B_{n,p}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq b\right) \to \mathbb{P}\left(a\leq Z\leq b).
$$

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Bonjour,
Je viens de lire avec un très grand intérêt le chapitre "Mesure et incertitudes" de eduscol, cité par Lucas.
J'ai choisi en particulier celui-là, pasce que c'est un domaine que je connais.
Je l'ai trouvé parfaitement clair et précis. Je le recommande à tous ceux qui ont à traiter de près ou de loin de ce type de problème. Je pense par exemple au calcul d'une position GPS à partir de l'observation de plus de 3 satellites, sujet évoqué dernièrement
Naturellement ce document ne donne pas les méthodes pour réaliser ces calculs, mais il précise les notions de base, indispensables pour les comprendre.

leon1789 · February 2014

dlzlogic écrivait:

> Je viens de lire avec un très grand intérêt le chapitre "Mesure et incertitudes" de eduscol, cité par Lucas.

C'est effectivement une bonne idée : je fais le pari que ce document http://media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/07/0/LyceeGT_ressources_MathPC_Mesure_et_incertitudes_eduscol_214070.pdf (d'un niveau très abordable puisque pour lycée général et technologique) ne tardera pas à servir pour appuyer certaines explications de base.

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Si j'ai bien compris, ce document est destiné aux professeurs.

CIRDECO · February 2014

Bonjour,
merci pour vos précisions.
Mais quelle proposition concrète feriez-vous si vous vous adressiez à des élèves de cycle Terminale STMG (qui n'ont pas l'étude des limites (ou de la fonction exponentielle) au programme) et que le programme recommande d'introduire la loi normale par l'observation, à l'aide d'un logiciel, de la loi binomiale?
Merci,
C.

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Je pense que la planche de Galton est une bonne approche.

gerard0 · February 2014

Cirdeco,

tu peux faire ce que je faisais en BTS puis en IUT autrefois : Montrer avec des valeurs importantes de n que l'allure du diagramme en bâtons des fréquences de la loi binomiale est "en cloche", puis demander d'admettre l'idée de l'approximation : Pour n grand, a et b pas trop éloignés de la moyenne np, si X est une B(n,p) et Y la loi Normale de même moyenne et même variance, alors P(a<X<b) est proche de P(a<Y<b).
Si p est faible, on peut avoir a et b relativement petits, et la question de l'égalité de X à a ou b peut se poser; on peut donc parler de la correction de continuité sans en faire une question de cours, si ça se présente dans un exercice.
Mais cette approximation fait-elle explicitement partie des programmes, maintenant qu'un calcul plus précis est possible avec un tableur ?

Cordialement.

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Oui, Gérard, à propos de l'approximation, si on fait passer une courbe lisse telle que l'aire sous la courbe et l'aire au-dessus de la courbe, pour chaque barre, est égale, on obtient la courbe de Gauss, représentative de la loi normale.
Cela me parait être une transition entre la loi binomiale et la loi normale, visuelle, facile à comprendre et qui a l'avantage d'être la stricte réalité.

egoroffski · February 2014

DlzLogic : Ce que tu dis est complètement faux pour au moins deux raisons :

1) Il y a une infinité de courbes continues vérifiant la condition dont tu parles,

2) La loi normale associée à la loi binomiale considérée n'en fait pas partie. Un exemple numérique au hasard, avec le logiciel {\bf R}, une loi binomiale de paramètres $(n=1000,p=0,5)$, une loi normale de paramètres $\mu=500$ et $\sigma^2 = 250$, et le calcul des aires associées aux 11 intervalles entiers successifs $[450,451]$ jusqu'à $[460,461]$ :

> n <- 1000
> p <- 0.5
> a <- 450:460
> b <- 451:461
> aire1 <- pbinom(b,size=n,prob=.5)-pbinom(a,size=n,prob=.5)
> aire2 <- pnorm(b,mean=n*p,sd=sqrt(n*p*(1-p)))-pnorm(a,mean=n*p,sd=sqrt(n*p*(1-p)))
> aire1
 [1] 0.0002065820 0.0002509149 0.0003035350 0.0003657129 0.0004388554
 [6] 0.0005245092 0.0006243611 0.0007402360 0.0008740913 0.0010280074
[11] 0.0012041735
> aire2
 [1] 0.0001880688 0.0002287758 0.0002771831 0.0003344929 0.0004020412
 [6] 0.0004813018 0.0005738890 0.0006815561 0.0008061926 0.0009498158
[11] 0.0011145597

Il n'y a pas un seul intervalle ayant deux aires égales...

CIRDECO · February 2014

Bonsoir,
merci beaucoup surtout à Gerard0.
Bien cordialement,
C.

CIRDECO · February 2014

Excusez-moi juste une dernière précision : pourquoi vous dites "diagramme en bâtons des "fréquences" de la loi binomiale" alors qu'il s'agit précisément de "probabilités" (les P(X=k)) ?
Encore merci pour tout.
C.

gerard0 · February 2014

Pour éviter un mélange avec des nombres de réalisations (*). Je suis trop statisticien, désolé !

Si tu utilises directement les probas, et la courbe de la bonne loi Normale, pas de souci.

Cordialement.

(*) c'est justement le problème de la planche de Galton.

tonton golden · February 2014

Bonjour CIRDECO,

Si cela t'intéresse , je joins un fichier GeoGebra qui illustre le théorème de Moivre-Laplace et que j'avais conçu pour une information sur les nouveaux programmes de terminale. Il avait l'air de plaire à certains de mes collègues formateurs. Selon moi , il ne s'adresse qu'aux professeurs.

Je joins également un fichier GeoGebra pour " voir " le lien entre loi binomiale et loi normale sur un exemple.
Dans la fenêtre algèbre, en changeant n , p , a , b , la figure devrait s'actualisée pour un autre exemple.

Avec mes élèves de terminale STMG , je n'insisterai pas beaucoup sur ce lien entre loi binomiale et loi normale comme je le faisais il y a quelques années avec des BTS comptabilité et gestion.

Merci pour ta question et pour les réponses de tous les intervenants.

Cordialement, TG.

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Bonsoir Tonton Golden,
(J'aime bien ce pseudo).
Je ne suis vraiment pas un spécialiste de géogébra, mais les images affichées correspondent exactement à une très bonne approche de la loi normale.
Là, il s'agit d'une image, mais il est vrai qu'une explication logique, structurée et argumentée est indispensable à la compréhension de la loi normale.
Unissons nos efforts pour aider Cirdeco.
Cordialement.

CIRDECO0 · February 2014

Bonjour,
Merci infiniment à vous tous pour le partage de vos grandes compétences !!!
Un merci tout particulier à tonton golden pour les deux fichiers GEOGEBRA (dans le fichier L5, que représentent l'affichage (16,6666 ; 0,15) et (50 ; -0,03) ?).
Très respectueusement,
C.

tonton golden · February 2014

Bonjour,

Je suis allé sur les ressources de Geogebra et en tapant probabilités dans le moteur de recherche, on obtient des fichiers intéressants. Je conseille le fichier de miir que j'ai trouvé en page 4 intitulé " idée du théorème de Moivre Laplace ". Je vous le joins ( je l'ai un tout petit peu modifié ).

A CIRDECO
Ces affichages correspondent à des coordonnées de points ( l'un en haut à gauche et l'autre en bas à droite de l'écran ). Je ne sais pas comment on pourrait les enlever ou les cacher.
Je crois que c'est parce que le point origine du repère n'est pas dans la fenêtre graphique que ces indicateurs apparaissent. J'espère que ces fichiers pourront t'être utiles.

A dlzlogic

Le fichier de miir devrait te plaire car il montre bien le passage d'une loi binomiale à la loi normale N ( 0 , 1 ).
Pour le pseudo, c'est ainsi que mes élèves de quatrième ( 1986 - 1987 ! ) m'avaient affectueusement surnommé.
Il a une grande signification pour moi.

Bonne journée à tous.

Cordialement , TG.

[Utilisateur supprimé] · February 2014

Bonjour Tonton Golden,
J'ignorais que GéoGébra avait tant de ressources.
Je l'ai dans ma machine depuis un bout de temps, mais en fait c'était juste par curiosité et je ne m'en servais que pour regarder des images faites par d'autres.
Mais, là, je suis en admiration.
Je ne suis pas prof de math, mais ça ne m'a pas interdit d'en faire et de les utiliser. Ces notions de probabilité et de calcul d'erreur sont fondamentale dans ma profession, et là je retrouve exactement des notions que je connais.
Un grand merci.
Cordialement.

CIRDECO · February 2014

Bonsoir,
Merci encore et encore pour ces compléments fort enrichissants !!!
Très respectueusement,
C.

tonton golden · February 2014

Bonsoir,

Je suis content que les ressources de GeoGebra vous aient plu .

A cirdéco
Puisque tu as en charge des terminales STMG comme moi cette année, je te joins un résumé de cours sur la loi normale. Je m'appuie plutôt sur leur manuel ( Indice Bordas ) même si je préfère le livre Hachette car il parle davantage de la loi binomiale qui, selon moi, peut tomber dans certains sujets de bac comme je l'ai vu l'année dernière dans des sujets de S et de ES .
Ce qui me gêne, c'est que la plupart de mes élèves de TSTMG n'ont pas vu la loi binomiale en première !
Si cela t'intéresse, je pourrai aussi te transmettre un cours sur la loi binomiale que je vais être obligé de faire.

Cordialement, TG.

NB : on ne peut pas joindre de fichier OpenOffice : dommage !