limites p.s. des processus

mehdi
mehdi
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Merci pour l'aide de répondre à ma question.

Soient $X, Y$ deux processus tels que :
$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}X_{s} = a\;\;p.s. \quad\text{ et }\quad \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}Y_{s} = b\;\;p.s $$
Quelles sont les méthodes possibles pour déterminer la limite $$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) = ??? $$

Réponses

  • h
    h
    Tu peux déjà réfléchir à ces questions dans un contexte non stochastique.
  • mehdi
    mehdi
    merci H.

    et après ???
  • h
    h
    Quelles sont tes conclusions pour l'instant ?
  • mehdi
    mehdi
    seulement la majoration:

    $$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) \leq a + b $$
  • egoroffski
    egoroffski
    OK. Est-ce que tu peux trouver un exemple de fonctions $x(t),y(t)$ (non aléatoires) telle que $\limsup (x+y) < \limsup x + \limsup y$ ?
  • mehdi
    mehdi
    merci egoroff

    x(t) = -y(t) = 1
  • egoroffski
    egoroffski
    Non, dans ce cas les deux membres sont égaux à $0$ donc l'inégalité n'est pas stricte. Clairement il faut chercher un exemple où les lim sup ne sont pas des limites.
  • h
    h
    Il me semblait bien aussi que le cas non stochastique n'avait pas été compris :-).
  • mehdi
    mehdi
    merci egoroff

    désolé,

    $x(t) = \cos^{2}(t)\;\;\;y(t) = \sin^{2}(t) $
  • egoroffski
    egoroffski
    OK (tu) (à condition de parler de limites en l'infini et pas en zéro comme dans tes posts précédents).

    Quid de ta question initiale ?
  • mehdi
    mehdi
    bonjour

    ma question autrement dit:

    1. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
    $$ \limsup(X + Y) = \limsup X + \limsup Y ?$$

    2. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
    $$ \limsup(X + Y) = \sup (\limsup X, \limsup Y) ?$$
  • egoroffski
    egoroffski
    1) Comme l'a suggéré H, il faut déjà voir ce qui se passe dans le cas déterministe, et même là ce n'est pas trivial du tout. L'exemple de loi du log itéré pour la somme de deux MB indépendants te montre qu'il peut y avoir un facteur $1/\sqrt{2}$ entre les deux.

    2) Là ça n'a carrément aucune chance d'être vraie ; si tu remplaces $X$ par $X+c$ et $Y$ par $Y+c$, que deviennent les deux membres ?
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