limites p.s. des processus
Bonjour
Merci pour l'aide de répondre à ma question.
Soient $X, Y$ deux processus tels que :
$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}X_{s} = a\;\;p.s. \quad\text{ et }\quad \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}Y_{s} = b\;\;p.s $$
Quelles sont les méthodes possibles pour déterminer la limite $$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) = ??? $$
Merci pour l'aide de répondre à ma question.
Soient $X, Y$ deux processus tels que :
$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}X_{s} = a\;\;p.s. \quad\text{ et }\quad \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}Y_{s} = b\;\;p.s $$
Quelles sont les méthodes possibles pour déterminer la limite $$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) = ??? $$
Réponses
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Tu peux déjà réfléchir à ces questions dans un contexte non stochastique.
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merci H.
et après ??? -
Quelles sont tes conclusions pour l'instant ?
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seulement la majoration:
$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) \leq a + b $$ -
OK. Est-ce que tu peux trouver un exemple de fonctions $x(t),y(t)$ (non aléatoires) telle que $\limsup (x+y) < \limsup x + \limsup y$ ?
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merci egoroff
x(t) = -y(t) = 1 -
Non, dans ce cas les deux membres sont égaux à $0$ donc l'inégalité n'est pas stricte. Clairement il faut chercher un exemple où les lim sup ne sont pas des limites.
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Il me semblait bien aussi que le cas non stochastique n'avait pas été compris :-).
-
merci egoroff
désolé,
$x(t) = \cos^{2}(t)\;\;\;y(t) = \sin^{2}(t) $ -
OK (tu) (à condition de parler de limites en l'infini et pas en zéro comme dans tes posts précédents).
Quid de ta question initiale ? -
bonjour
ma question autrement dit:
1. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
$$ \limsup(X + Y) = \limsup X + \limsup Y ?$$
2. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
$$ \limsup(X + Y) = \sup (\limsup X, \limsup Y) ?$$ -
1) Comme l'a suggéré H, il faut déjà voir ce qui se passe dans le cas déterministe, et même là ce n'est pas trivial du tout. L'exemple de loi du log itéré pour la somme de deux MB indépendants te montre qu'il peut y avoir un facteur $1/\sqrt{2}$ entre les deux.
2) Là ça n'a carrément aucune chance d'être vraie ; si tu remplaces $X$ par $X+c$ et $Y$ par $Y+c$, que deviennent les deux membres ?
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Bonjour!
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