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limites p.s. des processus

Envoyé par mehdi 
limites p.s. des processus
il y a six années
Bonjour
Merci pour l'aide de répondre à ma question.

Soient $X, Y$ deux processus tels que :
$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}X_{s} = a\;\;p.s. \quad\text{ et }\quad \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}Y_{s} = b\;\;p.s $$
Quelles sont les méthodes possibles pour déterminer la limite $$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) = ??? $$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
H
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
Tu peux déjà réfléchir à ces questions dans un contexte non stochastique.
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
merci H.

et après ???
H
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
Quelles sont tes conclusions pour l'instant ?
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
seulement la majoration:

$$ \limsup_{s\rightarrow 0^{+}}(X_{s} + Y_{s}) \leq a + b $$
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
OK. Est-ce que tu peux trouver un exemple de fonctions $x(t),y(t)$ (non aléatoires) telle que $\limsup (x+y) < \limsup x + \limsup y$ ?
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
merci egoroff

x(t) = -y(t) = 1
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
Non, dans ce cas les deux membres sont égaux à $0$ donc l'inégalité n'est pas stricte. Clairement il faut chercher un exemple où les lim sup ne sont pas des limites.
H
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
Il me semblait bien aussi que le cas non stochastique n'avait pas été compris smiling smiley.
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
merci egoroff

désolé,

$x(t) = \cos^{2}(t)\;\;\;y(t) = \sin^{2}(t) $
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
OK thumbs down (à condition de parler de limites en l'infini et pas en zéro comme dans tes posts précédents).

Quid de ta question initiale ?
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
bonjour

ma question autrement dit:

1. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
$$ \limsup(X + Y) = \limsup X + \limsup Y ?$$

2. quelles sont les conditions sur les processus $X, Y$ pour que :
$$ \limsup(X + Y) = \sup (\limsup X, \limsup Y) ?$$
Re: limites p.s. des processus
il y a six années
1) Comme l'a suggéré H, il faut déjà voir ce qui se passe dans le cas déterministe, et même là ce n'est pas trivial du tout. L'exemple de loi du log itéré pour la somme de deux MB indépendants te montre qu'il peut y avoir un facteur $1/\sqrt{2}$ entre les deux.

2) Là ça n'a carrément aucune chance d'être vraie ; si tu remplaces $X$ par $X+c$ et $Y$ par $Y+c$, que deviennent les deux membres ?
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