Existence de mesures diffuses
Bonjour à tous,
mon message du 1er mai ayant eu peu d'écho, je repose ma question
sous une autre forme dans le PDF joint mais je ne trouve plus le bouton
pour joindre un fichier !
Cordialement,
DS
[ Edit : Ancien titre: existence de mesures diffuses bis
Les deux discussions ont été fusionnées, l'ouverture d'un nouveau sujet n'étant pas utile. ]
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DS
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Réponses
voici une question que Gustave Choquet posait dans une épreuve d'examen en 1959 :
Montrer que sur tout espace compact parfait (sans point isolé)
il existe des mesures positives diffuses non nulles.
Indication : on pourra construire une telle mesure comme limite
d'une suite de mesures discrètes Mn telles que Mn consiste en
2^n masses ponctuelles égales.
Voyez-vous comment faire ?
DS
Je pars d'un point $x$ auquel est associé à un voisinage compact $V_x$ . Choisir $x'$ et $x''$ dans l'intérieur de $V_x$ et leur associer deux voisinages compacts $V_{x'}$ et $V_{x''}$ disjoints et inclus dans $V_x$. Si on a une masse $2^{-n}\delta_x$ on lui associe $2^{-n-1}\delta_{x'} + 2^{-n-1}\delta_{x''}$ à l'étape suivante. Je ne sais pas si ça marche très bien mais ce serait mon idée de départ. La stratégie est de pouvoir contrôler le poids que la suite de mesure met dans un bon voisinage compact d'un point quelconque.
Je ne sais pas si je suis clair...
suite de mesures à support fini prendre ?
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Soit (K,d) un espace métrique compact.
Soit Fn une suite de parties finies de K.
Soit Mn la mesure uniforme portée par Fn.
Soit Ln l’intégrale issue de Mn.
Chaque Ln est de norme < 1, donc il existe une sous-suite
Lni qui converge vers une L.
Comme L est positive, le th de Riesz affirme qu’il existe une mesure borélienne M positive sur K
telle que L(f) soit l'intégrale de f sur K selon dM.
Ma question : M est-elle diffuse avec un bon choix des parties Fn ?
Si ce n'est pas le cas peux-tu préciser ta pensée ? Dans la suite, je suppose que j'ai compris ton message. Je trouve ton attitude très irrespecteuse : une personne prend du temps à réfléchir à ton problème et essaye d'engager la conversation avec toi ; de ton côté, tu l'ignores ! Dans la réalité, quand quelqu'un te fait une réponse que tu ne comprends pas, ignores-tu également totalement ton interlocuteur ? Je trouve également ton attitude assez étrange : pourquoi ne pas demander des détails si une question te turlupine et que tu as en face de toi quelqu'un qui semble avoir des idées ? Mais je suis par contre content d'apprendre que tu ne me reproches rien, c'est surtout cela que je voulais savoir.
Après, il faudrait que je révise ma topologie pour remplir les blancs (j'ai trop l'habitude des espaces métriques).
Je ne comprends pas bien que Daniel ne réponde pas à H, même pour dire qu'il ne veut pas encore tester sa solution et chercher par lui-même .
@Steven : peux-tu me dire de quelle vanne tu parlais dans ce fil ? Ça m'intrigue depuis quelques temps...
Désolée aux autres de polluer la discussion avec cette intervention, mais c'est un peu difficile sans les MP...
Je n'ignore pas H, j'ai estimé que son message était trop vague et guère exploitable.
En attendant que cette hystérie retombe, voici une idée :
prendre pour Fn les centres des boules de rayon 1/n,
puis montrer que la partie diffuse de le mesure limite M
n'est pas nulle (on se casserait les dents à montrer que M
est diffuse).
Bonne journée à tous.
J'essaye d'être plus explicite alors : Quels sont les points qui te gênent ? Est-ce la définition même de la construction ? Est-ce la manière d'établir ensuite que les limites sont diffuses ? Serais-tu satisfait, au moins dans un premier temps, par le cas métrique ? (Comme pour aléa, la topologie générale c'est un peu vieux pour moi.)
Voir la Charte 4.2
C'est justement là que j'en étais. J'irai un peu plus loin : il suffit que le nombre de points dans le voisinage en question ne croisse pas trop vite. En effet si $x$ est un atome de $\mu = \lim \mu_{n_k}$ est la mesure limite d'une suite extraite et $c=\mu(\{x\})>0$, alors pour tout voisinage $V$ de $x$ on a $\liminf 2^{-n_k} |V \cap F_{n_k}| \geq c$ où $F_n$ est le support de $\mu_n$.
1) À un couple $(x,r)$ où $x$ est un point de $K$ et $r$ un réel strictement positif, j'associe deux couples $(x',r')$ et $(x'',r'')$ de même nature où : les boules $B(x',2r')$ et $B(x'',2r'')$ sont disjointes et incluses dans la boule $B(x,r/2)$. C'est possible car aucun point n'est isolé. Je vois les deux couples $(x',r')$ et $(x'',r'')$ comme les enfants de $(x,r)$.
2) Je pars d'un couple $(x,r)$ arbitraire et en itérant le 1) j'obtiens pour tout $n$ une famille de $2^n$ couples avec une généalogie etc.
3) Pour tout $n$, je considère $\mu_n$ la mesure uniforme sur les $2^n$ points de la génération $n$. J'extrait une sous-suite qui converge vers une certaine mesure $\mu$.
4) Je fixe $y$ dans $K$. Pour tout $n$, je définis un voisinage fermé $V_n$ de $y$ comme suit. Si $y$ n'est dans aucune des boules ouvertes $B(x,r)$ de la génération $n$ alors $V_n$ est le complémentaire de la réunion de ces boules. Sinon, $y$ est dans une seule de ces boules ouvertes. Je définis alors $V_n$ comme étant la boule fermée associée. Dans tous les cas, on a $\mu_k(V_n) \le 2^{-n}$ pour tout $k \ge n$. On en déduit que l'on a $\mu(V_n) \le 2^{-n}$. On en déduit alors que $\mu$ n'a pas d'atome en $y$ ce qui conclut.
Je n'ai pas relu et il faut peut-être ajuster par endroit mais ça me semble crédible. C'est en tout cas ce que j'avais en tête en répondant à DS il y a quelques jours.
Si ça marche je pense que ça s'adapte sans trop de problème au cas général (non-métrique). Le seul point où j'ai un doute est le point 4 : pourquoi prends-tu $V_n$ fermé ? et d'autre part dans le cas où $y$ n'est dans aucune des boules, comment s'assurer que ton $V_n$ est bien un voisinage de $y$ ?
je crois avoir trouvé, j'envoie ma démonstration pour vérification
et je la posterai si elle est juste.
Merci à tous pour votre participation !
J'aurais effectivement dû prendre des $V_n$ ouverts, je me suis pris les pieds dans le portmanteau.
Deuxième essai pour le 4) :
4) Je fixe $y$ dans $K$. Pour tout $n$, je définis un voisinage ouvert $V_n$ de $y$ comme suit. Si $y$ n'est dans aucune des boules fermées $B(x,r/2)$ de la génération $n$ alors $V_n$ est le complémentaire de la réunion de ces boules. Sinon, $y$ est dans une seule des boules ouverte $B(x,r)$. Je définis alors $V_n$ comme étant la boule ouverte en question. Dans tous les cas, on a $\mu_k(V_n) \le 2^{-n}$ pour tout $k \ge n$. On en déduit que l'on a $\mu(V_n) \le 2^{-n}$. On en déduit alors que $\mu$ n'a pas d'atome en $y$ ce qui conclut.
C'est mieux ?
Ca me paraît mieux en effet, bravo !!
Dans le cas non-métrique, une esquisse d'adaptation de ton idée : par récurrence on définit des $F_n,\mathcal{K}_n$ où $F_n=(x_n^1,...,x_n^{2^n})$ contient les "centres" de la génération $n$, $\mathcal{K}_n=(K_n^1,...,K_n^{2^n})$ où chaque $K_n^j$ est un voisinage compact de $x_n^j$, et $\mathcal{V}_n=(V_n^1,...,V_n^{2^n})$ des ouverts de $K$, deux-à-deux disjoints, tels que $K_n^j \subset V_n^j$ (voisinages de sécurité autour des $K_n^j$). On note aussi $W_n=K \setminus \bigcup_j K_n^j$ qui est un ouvert de $K$.
On initialise $F_1=(x_1^1)$ arbitrairement et $K_1^1=V_1^1=K$. Puis on construit la génération $n+1$ à partir de la génération $n$ en exécutant les étapes suivantes (indépendamment pour tous les $j$) :
- on pose $x_{n+1}^{2j}=x_n^j$ ;
- le caractère parfait de $K$ montre que l'intérieur de $K_n^j$ contient un autre point, $x_{n+1}^{2j-1} \neq x_n^j$ ;
- comme $K$ est séparé il existe $V_{n+1}^{2j-1},V_{n+1}^{2j}$ voisinages disjoints respectifs de $x_{n+1}^{2j-1},x_{n+1}^{2j}$ ;
- comme $K$ est compact il est localement compact et donc on peut choisir des sous-voisinages compacts $x_{n+1}^{2j-1} \in K_{n+1}^{2j-1} \subset V_{n+1}^{2j-1}$ et $x_{n+1}^{2j} \in K_{n+1}^{2j} \subset V_{n+1}^{2j}$ ;
- par construction $W_{n+1} = W_n \cup \bigcup_{j \leq 2^n} K_n^j \setminus (K_{n+1}^{2j-1} \cup K_{n+1}^{2j})$ donc la suite $W_n$ est croissante.
Enfin on définit $\mu_n$ comme étant la loi uniforme sur $F_n$. La compacité de $K$ et le théorème de Prokhorov assurent que la suite $(\mu_n)$ a une sous-suite convergeant faiblement vers une probabilité $\mu$.
Etant donné un $y \in K$, on a :
- soit $y \in W_n$ et donc pour tout $k \geq n$ : $\mu_k(W_n) \leq \mu_k(W_k) = 0$.
- soit $y \not\in W_n$ et donc $y \in K_n^j$ pour un certain $j$ ; alors pour tout $k \geq n$, le nombre de points de $F_k$ dans $V_n^j$ est exactement $2^{k-n}$, donc $\mu_k(W_n) = 2^{-n}$.
Dans les deux cas on a trouvé un ouvert $U$ contenant $y$ et tel que $\mu_k(U) \leq 2^{-n}$ pour tout $k \geq n$. Par conséquent la mesure limite vérifie $\mu(\{y\}) \leq \mu(U) \leq \liminf \mu_{n_k}(U) \leq 2^{-n}$, d'après le porte-manteau. Par passage à l'inf sur $n$, $y$ n'est pas un atome de $\mu$ et donc $\mu$ est diffuse.
Ca te semble OK ?
On attend la version de Daniel.
j'ai trouvé ceci, hélas guère exploitable :
http://journals.cambridge.org.sci-hub.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=6965444
Daniel
comment as_tu fait pour lire l'article ?
je publierai ma preuve demain.
bonne journée
Daniel
Le plan était le suivant, si ma mémoire est bonne.
1) On considère l'espace $E$ des mesures de probabilité sur le compact considéré, muni de la convergence usuelle pour ce genre de mesures (convergence contre les applications continues).
2) Pour tout $\eta > 0 $ on considère $C(\eta)$ le sous-ensemble constitué des mesures contenant au moins un atome de masse au moins $\eta$. C'est un fermé (c'est une conséquence du fameux porte-manteau).
3) S'il n'existait pas de mesure diffuse, alors $E$ serait la réunion des $C(n^{-1})$. Par Baire, l'un des $C(n^{-1})$ serait alors d'intérieur non vide.
4) Or les $C(\eta)$ sont d'intérieur vide (car on peut décomposer un atome en atomes plus petits).
Il utilisait quelque part la densité des mesures purement atomiques, peut-être pour montrer le 4, mais je ne vois plus l'intérêt.
Après une rapide relecture j'ai l'impression que la densité des mesures purement atomique est effectivement inutile.
Le plan est donc le suivant : les $C(n^{-1})$ sont des fermés d'intérieur vide ; leur réunion est donc d'intérieur vide (Baire) ; or leur réunion est précisémment l'ensemble des mesures diffuses.
A) La compacité pour dire que l'ensemble des valeurs d'adhérences d'une suite est non vide / la compacité pour appliquer Baire et dire qu'un certain ensemble est non vide.
comme promis, voici notre solution
ne pas tenir compte de la rédaction précipitée.
Daniel
Daniel : OK merci d'avoir pris le temps de taper tout ça (même si ça aurait été mieux en LaTeX