Erreur quadratique moyenne
dans Statistiques
Bonjour,
Nous sommes dans le cadre multidimensionnel; comment prouver ce qui suit ?
https://snag.gy/nmdOlU.jpg
P69 du poly suivant: http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/rebafka/StatBase_poly_partie2.pdf
Merci
Nous sommes dans le cadre multidimensionnel; comment prouver ce qui suit ?
https://snag.gy/nmdOlU.jpg
P69 du poly suivant: http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/rebafka/StatBase_poly_partie2.pdf
Merci
Réponses
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Déjà est -n d'accord sur les dimensions ? $V(\hat{\theta})$ est la matrice de covariance (bien qu'appelée variance dans le polycopié) et de dimension $p\times p$.
Donc $EQM(\hat{\theta})$ est une matrice carré de taille $p$. -
Bonjour,
Utilise la formule de Koenig : $\text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ pour deux variables aléatoires réelles $X$ et $Y$.
Vectoriellement, cette formule permet de montrer que la matrice de covariance du vecteur aléatoire $X$ vaut $\mathbb{E}(X.X^T)-\mathbb{E}(X).\mathbb{E}(X)^T$.
De plus, comme $\theta$ est constant, $\mathrm{Var}(\hat{\theta}-\theta) = \mathrm{Var}(\hat{\theta})$ puisque $\mathrm{Cov}(X,a) = 0$ pour toutes v.a.r $X$ et constante $a\in\mathbb R$.
NB : l'espérance d'une matrice $(A_{i,j})_{i,j}$ de variables aléatoires réelles $A_{i,j}$ est définie comme étant $(\mathbb E(A_{i,j}))_{i,j}$. -
Ok en usant du fait que $Var(\hat{\theta}-\theta)= Var(\hat{\theta})$ puisque l'addition de constante n'a pas d'influence.
http://www.proba.jussieu.fr/cours/processus-html/node14.html#p619
Du coup on a une "matrice de Biais", difficile d'imaginer le rapport avec le viais dans le cas unidimensionnelle. Peut être que les termes diagonaux correspondent au biais unidimensionnel... -
Je crois qu'il y a un erreur dans mon livre; l'EQM ne doit il pas être un nombre ?
Ecris sus la forme actuelle les termes diagnaux: $EQM_{ii}=E[\theta_i-\hat{\theta_i}]^2+Var(\hat{\theta_i})$ ce qui correspond bien au cas unidimensionnel. Par contre les termes hors diagonale n'ont aucun sens... -
En fait, il y a un problème de dimensions dans ce que j'ai raconté plus haut. La bonne formule est juste avant le 1.3.2 de http://www.lsta.lab.upmc.fr/modules/resources/download/labsta/Pages/Guyader/StatMath.pdf
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