Optimisation et Ridge

Pour 1) voici un rappel:
https://snag.gy/BCKJbu.jpg
https://snag.gy/gniD30.jpg

entre les deux théorèmes je ne vois pas trop la différence, ils semblent dire la même chose sauf que dans le second il y a une hypothèse supplémentaire de qualification des contraintes...

Quel est l'intérêt de la deuxième version par rapport à la première ?

Pour résoudre le problème de minimisation, l'auteur trouve le gradient du Lagrangien et cherche l'estimateur qui l'annule. Cette démarche de recherche des extremums locaux n'est elle pas uniquement valide dans le cadre de contraintes d'égalité ?

[Lorsque l'on est en présence de contraintes d'inégalités il faut appliquer KKT il me semble et il y a beaucoup de choses à vérifier: comme les conditions de relachement (https://fr.wikipedia.org/wiki/Conditions_de_Kuhn-Tucker).]

On dirait qu'ici l'auteur sait que le minimum local ne sera pas un point intérieur mais sur la frontière; donc il se ramène a des conditions d'égalité...

qu'en pensez vous ?

https://snag.gy/Unexs5.jpg