solution approchée d'un système

Gerard il ne cherche pas à résoudre le système. Il cherche à trouver la solution des moindres carrés.

Oui, Skyffer3,

c'est bien ce qu'il me semblait, mais il faudrait qu'il arrête de vouloir résoudre le système. Et d'autre part, il n'y a aucune raison à priori pour qu'il existe une solution au sens des moindres carrés : les 6 équations sont fortement liées, D-C devant être proche à la fois de Z3-Z2, de Z5-Z4 et de Z6.

Cordialement.

Heu ... je ne vois pas de raison pour que cette somme de carrés à 4 variables ait un minimum : Elle pourrait tendre vers 0 pour certaines valeurs des variables sans prendre la valeur 0.
D'ailleurs, Vincent semble dire qu'il n'y a pas de minimum.

Me trompé-je ?

Cordialement.

Attention,

il ne s'agit pas d'un modèle linéaire, ici. A moins qu'il y en ait un précédent, qui nous a été caché.

Une remarque triviale : il est sans espoir de trouver $A,B,C,D$ individuellement. Rien ne change dans les équations si on translate toutes les variables d'une même quantité. La seule chose sur laquelle on peut espérer mettre la main, c'est les trois différences $B-A=\beta$, $C-A=\gamma$, et $D-A=\delta$.
Les trois dérivées partielles de la somme de carrés à minimiser forment un système linéaire de trois équations linéaires en les trois inconnues $\beta,\gamma,\delta$.
Bon, je dis la même chose que P. qui a répondu entretemps.

Soit $Z=(z_{ij})_{0\leq i,j\leq n}$ une matrice antisymetrique d'ordre $n+1.$ Si $x=(x_0,\ldots,x_n)^T$ on considere le polynome quadratique
$$Q(x)=\sum_{0\leq i<j\leq n}(x_j-x_i-z_{ij})^2=\frac{1}{2}\sum_{0\leq i,j\leq n}(x_j-x_i-z_{ij})^2$$ pour le minimiser. Soit $\mathbf{1}$ le vecteur colonne d'ordre $n+1$ forme de 1. Il est clair que si $x$ minimise $Q$ il en va de meme pour $x+\lambda \mathbf{1}.$ Pour cette raison cherchons le $x$ qui minimise tel que de plus $x_0=0.$

Notons $c=(c_0,\ldots,c_n)^T=Z\mathbf{1}$


Alors pour $ k=1,\ldots,n$ le systeme

$$\frac{\partial}{\partial x_k}Q(x)=x_k-z_{0k}+\sum_{j=1}^n(x_k-x_j-z_{kj}) =0$$

peut s'ecrire
$$\left[\begin{array}{ccccc}n&-1&-1&\ldots&-1\\ -1&n&-1&\ldots&-1\\ \\-1&-1&-1&\ldots&n\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \ldots\\x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c_1\\c_2\\ \ldots\\c_n\end{array}\right]$$
Notons par $M_n$ la matrice carree du systeme ci dessus et par $J_n$ la matrice carree d'ordre $n$ dont tous les coefficients sont 1. Alors $J^2_n=nJ_n$ et donc $M_n=(n+1)I_n-J_n$ a pour inverse $$M_n^{-1}=\frac{1}{n+1}(I_n+J_n)$$

Bonsoir ,

(B - A - Z1)^2 + (C - A - Z2)^2 + (D - A - Z3)^2 + (C - B - Z4)^2 + (D - B - Z5)^2 + (D - C - Z6)^2

est minimal lorsque

A := D + (-Z1-Z5-2*Z3-Z6-Z2)/4
B := D + (Z1-Z4-2*Z5-Z3-Z6)/4
C := D + (Z2+Z4-Z5-Z3-2*Z6)/4
et D quelconque

Vu l'expression "aux différences", c'est normal qu'il y ait une variable soit libre, ici D par exemple (mais on pourrait très bien prendre A, B ou C)

Saturne,
Je crois que la matrice serait plutôt
$\left[ \begin {array}{cccc}
-1&1&0&0\\
-1&0&1&0\\
-1&0&0&1\\
0&-1&1&0\\
0&-1&0&1\\
0&0&-1&1\end {array}
\right]$
qui est de rang 3.
Non ?