une égalité élémentaire
dans Statistiques
Il n'y a pas de stats dans la question mais le problème vient d'un problème de stats, alors je poste ici.
Soient $y_1, \ldots, y_n, y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$ des réels.
On note $\tilde y$ la moyenne de $y_1, \ldots, y_n$ et $\bar y$ la moyenne de $y_1, \ldots, y_n, y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$, et $\hat y$ la moyenne de $y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$. On note $$
A = \sum_{i=1}^k{(y_{n+i} - \tilde y)}^2 -
\frac{k^2}{n+k} {(\hat y - \tilde y)}^2
\qquad \text{et} \qquad
B = n{(\tilde y - \bar y)}^2 + \sum_{i=1}^k{(y_{n+i} - \bar y)}^2
$$ Pourquoi a-t-on $A=B$ ?
Y a-t-il moyen de le démontrer sans se coltigner coltiner le développement des deux expressions ?
Soient $y_1, \ldots, y_n, y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$ des réels.
On note $\tilde y$ la moyenne de $y_1, \ldots, y_n$ et $\bar y$ la moyenne de $y_1, \ldots, y_n, y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$, et $\hat y$ la moyenne de $y_{n+1}, \ldots, y_{n+k}$. On note $$
A = \sum_{i=1}^k{(y_{n+i} - \tilde y)}^2 -
\frac{k^2}{n+k} {(\hat y - \tilde y)}^2
\qquad \text{et} \qquad
B = n{(\tilde y - \bar y)}^2 + \sum_{i=1}^k{(y_{n+i} - \bar y)}^2
$$ Pourquoi a-t-on $A=B$ ?
Y a-t-il moyen de le démontrer sans se coltigner coltiner le développement des deux expressions ?
Réponses
-
Bonjour.
Peut-être en utilisant $\displaystyle \bar y=\frac{n\tilde y+k\hat y}{n+k}$ ?
En calcul direct de la première égalité à la deuxième, je ne vois pas, il faut n'importe comment développer pour faire disparaître $\hat y$.
Cordialement. -
Bonne piste en effet. Je vais essayer de me lancer. J'espérais une astuce avec une décomposition d'une variation totale, mais je ne vois pas.
Je déteste les notations que j'ai utilisées. J'en ai d'autres si vous préférez, mais en anglais.
Let $y_1, \ldots, y_n$ and $y^\ast_1, \ldots, y^\ast_{k}$ some real numbers. Set $$
A = \sum_{i=1}^k{(y^\ast_{i} - \bar y)}^2 -
\frac{k^2}{n+k} {(\bar y^\ast - \bar y)}^2
\qquad\text{and}\qquad
B = n{(\bar y - m)}^2 + \sum_{i=1}^k{(y^\ast_{i} - m)}^2
$$ where $m$ is the mean of $y_1, \ldots, y_n, y^\ast_1, \ldots, y^\ast_{k}$.
Then $A=B$. -
A priori, comme les moyennes portent sur des populations différentes, difficile de trouver une voie rapide. A moins qu'il y ait des éléments de contexte. Mais le coefficient $\frac{k^2}{n+k}$ ne me dit rien.
Bonne chance ! -
J'en suis arrivé à l'équivalence avec l'égalité
$$
k(2n+k) {(\bar y^\ast - \bar y)}^2 =
(n+k)^2 \bigl({\bar y}^2 - m^2 + 2 \bar y^\ast (m- \bar y) \bigr).
$$
Bizarre, mais j'ai vérifié numériquement et c'est juste. Suis-je sur la bonne piste ? J'ai un truc à faire là, je continue plus tard. -
Ouf, j'ai fini. Cela me prend une dizaine de lignes. Quelle galère 8-)
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Bonjour!
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