Gausienne multivariée, famille exponentielle

Bonjour,

j'ai besoin d'avoir l'expression d'une densité gaussienne multivariée $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ sous sa forme "famille exponentielle", c'est à dire en notant $\theta=(\mu, \Sigma)$ et $f_\theta$ sa densité, écrire
\[ f_\theta (x) = b(x)\exp(\eta(\theta)\cdot T(x)-A(\theta)). \]
Dans Wikipédia, il est proposé de prendre $\eta(\theta) = \begin{bmatrix} \Sigma^{-1}\mu \\ -\frac12\Sigma^{-1} \end{bmatrix} $
$T(x)=\begin{bmatrix} x \\ x x^\mathrm{T} \end{bmatrix}$ et $A(\theta)= \frac12 \mu^{\rm T}\Sigma^{-1} \mu + \frac12 \ln | \Sigma|$ ($b(x)$ est une constante de normalisation).

Le terme $A(\theta)$ ne me pose évidemment pas de problème, on le retrouve clairement en développant la densité d'une gaussienne non dégénérée ; par contre, il me semblait pourtant que $\eta(\theta)\cdot T(x)$ devait être un produit scalaire (entre deux vecteur donc...) ; mais sans s'arrêter là, en essayant de donner un sens à ce produit, j'écris (profitant que $\Sigma$ et $\Sigma^{-1}$ soit symétrique) :
\[ \begin{bmatrix} \Sigma^{-1}\mu \\ -\frac12\Sigma^{-1} \end{bmatrix}^{\rm T} \begin{bmatrix} x \\ x x^\mathrm{T} \end{bmatrix} = \mu^{\rm T}\Sigma^{-1} x - \frac12\Sigma^{-1}x x^\mathrm{T} \]
Mais $x x^\mathrm{T}$ est une matrice et donc $\Sigma^{-1}x x^\mathrm{T} $ aussi et on n'a pas du tout $\frac12\Sigma^{-1}x x^\mathrm{T} = \frac12x^\mathrm{T} \Sigma^{-1}x$, ce qu'il faudrait, à mon sens, pour retrouver $b(x)\exp(\eta(\theta)\cdot T(x)-A(\theta))$ égale à la densité gaussienne.

Qu'est-ce que j'ai raté? Sinon, quelle est la forme correcte ?

Merci d'avance pour vos remarques !