Estimer un paramètre

pedro38000 écrivait:

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> les $Z_i$ sont des
> variables i.i.d de densité $f(x-\theta)$.

Comment sait-on que les $\eta_i$ ont une densité ? Et par rapport à quelle mesure ?


>
> Ce qui me chagrine c'est $ cos (\theta)$, car je
> sais qu'un estimateur de $\theta$ par la méthode
> des moments en résolvant le système d'équation
> donne $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i $ . Mais est
> ce que de ça je dois en déduire qu'un estimateur
> de $\cos (\theta)$ est $\cos ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i )$

Les $Y_i$ sont-ils les $Z_i$ de ta pièce jointe ? Je suppose que oui, auquel cas un théorème bien connu devrait te permettre de montrer que $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i $ converge (en un certain sens) vers $\theta$ puis la continuité de la fonction $\cos$ devrait te permettre de conclure quant à la convergence de $\cos ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i )$.

pedro38000 écrivait:

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> Bonjour, Je vous remercie d'abord pour votre
> réponse.

De rien !

> Les $\eta_i$ ont une densité car on a
> l'expression du premier et du deuxième moment.
> $E(\eta_1^2) = 1$et $E(\eta_1) = 0$

Non, l'existence de moments n'a rien à voir avec l'existence d'une densité. Qu'est-ce qu'une densité ?

Ensuite, oui, c'est la loi des grands nombres et le fait que la convergence en probabilité est préservée par passage à une fonction continue.


> Puis pour la deuxième question on utilise le
> théorème de la limite centrale pour trouver une
> convergence en loi vers la loi $N(0,1)$.
>
> Est ce bien ça ?

Ça ne suffit pas : le théorème de la limite centrale te donne simplement la convergence en loi de $\displaystyle \sqrt{n}\left(\dfrac 1n\sum_{i=1}^n Z_i-\theta\right)$ vers $\mathcal N(0,1)$. Il faut "passer" au $\cos$ en utilisant un théorème (lequel ?).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_delta