Intervalle de confiance et test d'hypothèse

Bonjour,

Mettons que l'on se donne une loi normale de variance connue égale à 1 et de moyenne $\mu_0$ inconnue (mettons qu'elle vaut 5 pour l'illustrer). L' intervalle : $[\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}]$ est un intervalle de confiance à $95 \%$ signifie : $P(\mu_0 \in [\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}])=0.95$ . Grosso modo celà veut dire qu'en simulant une suite finie d'échantillons de loi normale et en calculant pour chaque échantillon son intervalle de confiance empirique, j'aurai une proportion d'environ* égale à $95\%$ d'intervalles de confiance qui contiendront $5$.


Si l'on fait un test d'hypothèse (l'hypothèse étant que la moyenne est égale à 5) au seuil $\alpha=5\%$ celà signifie que sous validité/condition de l'hypothèse (ce qui est bien vérifiée ici)
$ P_{H_0}(\bar{X}_n \in [\mu-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\mu-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}])=0.95$. Grosso modo celà signifie que sous l'hypothèse $H_0$ dans environ $95\%$ des cas la moyenne empirique appartiendra à l'intervalle $[\mu_0-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\mu_0-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}]$

Puisque $P(\mu \in [\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}_n-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}])=0.95 \Leftrightarrow P(\bar{X}_n \in [\mu-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}},\mu-\frac{q\sigma}{\sqrt{n}}])=0.95$ on peut en déduire une formulation équivalente entre intervalle de confiance et tests d'hypothèses.

1) Maintenant que se passe t'il lorsque la taille de l'échantillon $n$ croit? La taille de l'intervalle de confiance diminue mais la moyenne empirique est plus précise pour estimer la moyenne théorique. Est ce que dans le cadre d'une simulation le fait de faire varier $n$ va changer quelque chose sur la proportion de fois où la moyenne théorique appartiendra à l'intervalle de confiance ?

2) Pourquoi obtient t'on simplement une proportion approximative de 95% ? Peut on connaitre la précision de cette approximation ?


PS: Les simulation se font dans le cadre iid.