Proportion premiers parmi les entiers

Qu'elle ne répond pas à la question, puisqu'on te demande entre 1 et 100 seulement.

bonsoir

la probabilité ponctuelle pour qu'un nombre entier naturel n soit premier diminue régulièrement
en effet l'équivalent asymptotique de cette probabilité est $\frac{1}{ln(n)}$

mais la densité des entiers premiers par tranche de 1000 entiers n'est jamais nulle
par exemple parmi les 1000 entiers situés entre $10^{430}$ et $10^{433}$
il est quasi certain qu'il existe un entier premier (mais on ne sait pas lequel)

finalement cet ensemble des entiers premiers est relativement dense
(on démontre de différentes manières qu'il existe une infinité de nombres premiers)

de 1 à 100 il existe 28 entiers premiers (densité de 0,28)
de 1 à 1000 il existe 169 entiers premiers (densité de 0,17)
de 1 à 10000 il existe 1230 entiers premiers (densité de 0,123)
de 1 à 1 million il existe 78030 entiers premiers (densité de 0,078)
de 1 à $10^{100}$ il existe $4,38.10^{97}$ entiers premiers (densité de 0,004)

cordialement

Il faut dire que Jean Lismonde se paie de [size=x-large]GROSSES[/size] tranches de 1000 entiers. (:D

parmi les 1000 entiers situés entre $10^{430}$ et $10^{433}$

Pour revenir au sujet, on peut trouver étrange de voir ce décompte des premiers compris entre 1 et 100 nommé "estimation" !

Une tentative de rédaction pourrait être de dire que les nombres premiers tendent à se raréfier lorsqu'on prend en compte des effectifs d'entiers de plus en plus grands. Logiquement, puisqu'alors un entier donné possède davantage de nombres qui lui sont inférieurs, susceptibles de figurer parmi ses diviseurs.

On compare la proportion de nombres premiers entre un très petit effectif, les cent premiers entiers, et un très grand, les 10²⁴ premiers entiers (l'énoncé ne précise pas que ce sont les premiers, mais on voit mal s'amuser à tirer au hasard 10²⁴ entiers parmi 10⁴⁸).
Comme on pouvait s'y attendre, le rapport de ces proportions est important, d'environ 12,5.

On peut dire que 10²⁴ est, à l'échelle humaine, un très grand nombre. Un million de milliards de milliards.
Plus grand que le nombre d'Avogadro, 6,02*10²³. En quelque sorte, plus d'une mole d'entiers !

On pourrait préciser un peu le début de cette progression du nombre de premiers parmi les entiers.
Pour deux, un sur deux, 0,5.
Dans les cohortes suivantes les nombres pairs sont absents, on anticipe d'office des valeurs inférieures à 0,5, puis une baisse assez sensible, les multiples de 3, de 5, de 7 étant, globalement, eux aussi en nombre très significatif.
Pour dix, 4 sur 10, 0,4
Pour vingt, 8 sur 20, 0,4 également
Pour cent, comme on l'a vu, 0,25.
Jean Lismonde a fourni certaines des proportions suivantes, espérons que leur fiabilité est meilleure que celle de son premier chiffre.

Amicalement