Loi conditionnelle

1) - Connaître la loi de $X$ sachant $A$, c'est connaître, pour tout sous-ensemble (mesurable) $B\subset X(\Omega)$, la valeur de $\mathbb{P}_{A}(X\in $. Autrement dit, la loi conditionnelle de $X$ sachant $A$, c'est l'application $B\mapsto \mathbb{P}_A(X\in $.
- Connaître la loi de $X$ sachant $Y$, c'est connaître, pour tous sous-ensembles (mesurables) $B\subset X(\Omega)$ et $A\subset Y(\Omega)$, la valeur de $\mathbb{P}_{Y\in A}(X\in $. Autrement dit, la loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$, c'est l'application $(A,B)\mapsto \mathbb{P}_{Y\in A}(X\in $.

Je ne comprends pas bien ce que tu affirmes dans ton dessin.

Comme il s'agit essentiellement de notations, je ne sais pas si la question peut vraiment être "est-ce que c'est vrai". Peux-tu préciser ta question ?

"Je me mélange les pinceaux..." : cela fait partie du travail, d'assimiler des notions et de les appréhender de plus en plus clairement... Si tu as déjà des références à travailler, c'est sans doute suffisant, après c'est une question de temps et de volonté de comprendre... Ici on peut davantage répondre à des questions précises que tu te poses, que te donner la panacée pour avancer.

Voici comment j'interprète tes notations :

• $f(y|x=2)$ : pour tout borélien $B$, on a $\mathbb{P}(Y\in B|X=2) = \int_{B}f(y|x=2)\,\mathrm{d}\lambda(y)$
• $\mathbb{E}(Y|X=2) = \int_{\mathbb{R}}y\,f(y|x=2)\,\mathrm{d}\lambda(y)$
• $(f(y|x))$ est effectivement une famille de densités indexées par $x$ (une notation équivalente serait $(y\mapsto f(y, x=a))_{a\in\mathbb{R}}$)

Cela ne veut pas dire que cela correspond exactement aux notations de ton cours.